РЕШУ УРОК — выпускные экзамены по математике

Задания

Пусть $p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в степени n плюс a_1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_n,$ где $n\geqslant2,$ коэффициенты $a_1, a_2, \ldots, a_n$ вещественны и среди них один является отрицательным, все остальные  — положительны. Будем далее предполагать, что положительные корни многочлена $p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка$ являются простыми (другими словами, не кратными).

а)  Может ли многочлен $p_3 левая круглая скобка x правая круглая скобка$ иметь более двух положительных корней?

б)  Верно ли, что многочлен $p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка$ имеет единственный положительный корень тогда и только тогда, когда $a_n меньше 0?$

в)  Пусть $a_1 меньше 0,$ c  — положительный корень многочлена $p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Докажите, что коэффициенты $b_1,b_2,\ldots,b_n минус 1$ многочлена $дробь: числитель: p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус c конец дроби$ отрицательны.

г)  Пусть $a_1 меньше 0.$ Докажите, что многочлен $p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка$ либо имеет ровно два положительных корня, либо не имеет их вообще.

Решение. а)  Если многочлен p₃(x) имеет три положительных корня, то его коэффициенты a₁ и a₃ отрицательны.

б)  Пусть a_n < 0, тем самым p_n(0) < 0. Поскольку все остальные коэффициенты многочлена положительны, то функция p_n(x) строго возрастает на луче $левая квадратная скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка ,$ причём $p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка arrow плюс бесконечность$ при $xarrow плюс бесконечность ,$ поэтому уравнение p_n(x)  =  0 имеет один положительный корень. Если же a_n > 0, то число положительных корней многочлена p_n(x) чётно, так как по предположению все они  — простые.

в)  Положим

$q_n минус 1 левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: p_n левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус c конец дроби =x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b_1x в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс b_n минус 1.$

Имеем:

$x в степени левая круглая скобка n правая круглая скобка плюс a_1x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс a_n= левая круглая скобка x минус c правая круглая скобка левая круглая скобка x в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс b_1x в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс \ldots плюс b_n минус 1 правая круглая скобка ,$

откуда $a_i=b_i минус cb_i минус 1$ при i ⩽ n − 1, $a_n= минус cb_n минус 1.$ Из последнего равенства следует, что $b_n минус 1 меньше 0.$ Далее рассуждаем по индукции. Если b_i < 0, то $cb_i минус 1=b_i минус a_i меньше 0.$

г)  Предположим, что многочлен p_n имеет хотя бы один положительный корень. Поделив p_n на соответствующее линейное выражение, получим многочлен, все коэффициенты которого (разумеется, кроме коэффициента при x^n − 1) отрицательны. Поэтому полученный многочлен имеет ещё хотя бы один положительный корень c. Поделив на x − c, получим многочлен, все коэффициенты которого положительны (рассуждение полностью аналогично проведённому в предыдущем пункте), который, тем самым, положительных корней не имеет.

Ответ: а) нет, не может; б) да, верно.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2139	а) нет, не может; б) да, верно.

Ключ