Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде

Обо­зна­чая по­лу­чим Кор­ня­ми урав­не­ния будут по­это­му ре­ше­ние не­ра­вен­ства  — про­ме­жу­ток тогда Ясно, что по­это­му на самом деле от­сю­да

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде

Обо­зна­чим тогда каж­до­му корню дан­но­го урав­не­ния со­от­вет­ству­ет ровно один по­ло­жи­тель­ный ко­рень урав­не­ния Тем самым во­прос свел­ся к та­ко­му  — какие зна­че­ния функ­ция при­ни­ма­ет на луче ровно один раз?

Эта функ­ция  — квад­рат­ный трех­член с от­ри­ца­тель­ным стар­шим ко­эф­фи­ци­ен­том, зна­чит, она воз­рас­та­ет при и убы­ва­ет при На про­ме­жут­ке она при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка по од­но­му разу, на про­ме­жут­ке   — все зна­че­ния из про­ме­жут­ка по од­но­му разу. Зна­чит, нам под­хо­дит и еще

в)  За­пи­шем урав­не­ние в виде и воз­ве­дем его в квад­рат, за­пом­нив что то есть тогда или За­ме­тим, что при функ­ции и воз­рас­та­ют, по­это­му воз­рас­та­ет и их сумма. Сле­до­ва­тель­но, это урав­не­ние не может иметь боль­ше од­но­го корня. Не­труд­но про­ве­рить, что под­хо­дит.

г)  За­пи­шем урав­не­ние в виде За­ме­тим, что при по­лу­чим

по­это­му на этом участ­ке кор­ней нет. При функ­ция убы­ва­ет, по­сколь­ку ее про­из­вод­ная:

Зна­чит, это урав­не­ние имеет не более од­но­го по­ло­жи­тель­но­го корня. Пусть Тогда

до­воль­но близ­ко к пра­виль­но­му от­ве­ту. До­ка­жем, что В самом деле:

До­ка­жем, что тогда

Итак, оста­лось до­ка­зать, что или Это верно. До­ка­за­тель­ство этого утвер­жде­ния яв­ля­ет­ся ча­стью до­ка­за­тель­ства кор­рект­но­сти опре­де­ле­ния числа e, в этом до­ка­за­тель­стве в част­но­сти уста­нав­ли­ва­ет­ся, что

Ответ: а) б) в) −1; г) 6.