1. Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Найдите все a, при которых уравнение 
имеет единственное решение.
в) Пусть 
Решите уравнение 
г) Пусть 
Найдите с точностью до 
положительный корень уравнения 
а) После подстановки получим неравенство 
Поделим на 
и введём замену 
теперь решим неравенство 
Учитывая положительность t, приходим к ответу: 
Возвращаясь к исходной переменной:
б) Рассматривается уравнение
Ясно, что это уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда уравнение 
где имеет всего одно решение, причём оно положительно, или когда у него два решения, причём одно из них положительно, а другое отрицательно. Дискриминант этого уравнения равен 
Уравнение имеет единственное решение, если 
(это решение, очевидно, положительно). Уравнение имеет корни разных знаков при 
при 
один из корней равен нулю, а второй
в) После подстановки получим уравнение 
Оно равносильно системе
Если 
то выражение 
положительно при 
Заметим, что на этом луче квадратичная функция убывает, а функция 
возрастает, поэтому уравнение имеет не более одного корня, каковым, очевидно, является 
г) Рассматривается уравнение 
Изучим поведение функции 
ясно, что 
а 
значит, на интервале 
эта функция имеет корень. Других положительных корней у неё нет. В самом деле, на луче 
производная 
функции g положительна, ибо 
а потому функция g возрастает на данном луче и не может иметь на нем двух корней; на промежутке же 
значения функции g, очевидно, отрицательны. Обозначим теперь этот корень t. По теореме Лагранжа выводим равенство:
где p — некоторое число из интервала 
Так как 
а 
то выполняется равенство 
Но 
поэтому
Именно поэтому число 10 является приближенным значением корня с точностью до 0,03.
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 10.
Задание парного варианта: 2120