Дана функция 
а) Пусть 
Найдите корни функции f.
б) Найдите все a, такие что 
в) Найдите все a, при которых функция f монотонна на отрезке 
г) Вычислите предел 
Вначале проделаем преобразования:
Далее для 
будем использовать одно из следующих представлений: 
или
а) Сделав в уравнении 
замену 
и воспользовавшись результатом проделанного преобразования, получим квадратное уравнение 
с корнями 
и 
Поскольку 
то 
б) Интегрируя, получаем
поэтому 
в) Поскольку функция 
возрастает на отрезке 
то монотонность f на нем равносильна монотонности квадратичной функции 
на отрезке 
Следовательно, точка минимума 
функции g не должна лежать внутри указанного отрезка, 
г) Самый простой способ решения этой задачи основан на том, что сумма 
является суммой Римана для интеграла 
следовательно, ее пределом является данный интеграл. Далее, поскольку подынтегральная функция 
-периодична, то интеграл от нее по отрезку длины не зависит от расположения этого отрезка на оси. Таким образом, искомый предел равен
Указанную сумму нетрудно вычислить и явно, использовав следующие два хорошо известных равенства:
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
Задание парного варианта: 2101