PDF-версии: 
Дана функция 
а) Пусть 
Найдите корни функции f.
б) Найдите все a, такие что
в) Найдите все a, при которых функция f монотонна на отрезке 
г) Вычислите предел 
Решение. а) Преобразуем функцию
Сделаем теперь замену 
Получим:
Второй случай невозможен, 
В первом случае получаем:
б) Преобразуем функцию немного иначе, начав с середины цепочки преобразований:
Значит,
Решим теперь уравнение:
в) Вновь преобразуем нашу функцию:
Обозначим 
получим выражение 
Заметим, что при 
получим
причем 
монотонно убывает. Поэтому монотонность исходной функции и функции 
равносильны. Но квадратный трехчлен монотонен на промежутке в тех и только тех случаях, когда промежуток не содержит внутри себя его точку экстремума (она же — абсцисса вершины соответствующей ему параболы). Итак,
г) Используем уже полученное выражение для
Докажем для начала, что 
Проще всего для этого воспользоваться геометрическим представлением — точки, соответствующие углам 
образуют вершины правильного n — угольника. Сумма косинусов таких углов, следовательно, равна сумме проекций векторов, идущих из центра многоугольника в его вершины, на ось абсцисс. Вместо суммы проекций можно взять проекцию суммы. Но сумма таких векторов равна нулю, поскольку переходит в себя при повороте на угол 
что возможно лишь для нулевого вектора. Ну а проекция нулевого вектора — нулевая. Есть и другие доказательства. Например, сумму косинусов от арифметической прогрессии углов можно вычислить явно. Аналогично 
Поэтому
Тем самым мы установили. что последовательность постоянна при 
поэтому и ее предел равен 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
б) в) г) б) в) г)