3. Дана функция
а) Напишите уравнение касательной к графику функции параллельной оси абсцисс.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
в) Постройте график функции на отрезке
г) Определите число b так, чтобы функция являлась первообразной функции
на луче
а) Возьмем сначала производную этой функции. Получим
Если касательная параллельна оси абсцисс, то ее угловой коэффициент (он же значение производной в точке касания) равен нулю. Уравнение имеет только корень 4, при этом
Значит, уравнение касательной в этой точке имеет вид
б) Выражение отрицательно на отрезке
и положительно на отрезке
значит, исходная функция возрастает на
и убывает на
Поэтому наибольшее значение у нее
а наибольшее достигается в одном из концов отрезка:
в) Исследуем функцию на этом отрезке чуть более подробно. Записав ее в виде получим, что единственный ее корень это
Функция определена на всем отрезке, вертикальных асимптот не имеет. Монотонность ее уже исследована в п. б). Осталась выпуклость. Возьмем вторую производную.
г) Возьмем производную
Чтобы это выражение совпадало с нужно взять
Ответ: а) б) наименьшее значение −1, наибольшее
г)
Задание парного варианта: 1959

