PDF-версии: 
3. Дана функция 
а) Напишите уравнение касательной к графику функции 
параллельной оси абсцисс.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
в) Постройте график функции на отрезке
г) Определите число a так, чтобы функция 
являлась первообразной функции на луче 
Решение. а) Возьмем сначала производную этой функции. Получим
Если касательная параллельна оси абсцисс, то ее угловой коэффициент (он же значение производной в точке касания) равен нулю. Уравнение 
имеет только корень −4, при этом
Значит, уравнение касательной в этой точке имеет вид 
б) Выражение 
положительно на отрезке 
и отрицательно на отрезке 
значит, исходная функция возрастает на 
и убывает на 
Поэтому наименьшее значение у нее 
а наибольшее достигается в одном из концов отрезка:
в) Исследуем функцию на этом отрезке чуть более подробно. Записав ее в виде 
получим, что единственный ее корень это 
Функия определена на всем отрезке, вертикальных асимптот не имеет. Монотонность ее уже исследована в п. б). Осталась выпуклость. Возьмем вторую производную.
Что положительно при всех 
поэтому функция выпукла вверх. Осталось построить график.
г) Последовательно получим:
Чтобы это выражение совпадало с 
нужно взять 
Ответ: а) 
б) наименьшее значение наибольшее 1, г)
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) наименьшее значение наибольшее 1, г) б) наименьшее значение наибольшее 1, г)