Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1963

2. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 8x минус x в квадрате минус 7.

а) Найдите область определения функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .

б) Сравните числа 2f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка и f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка .

в) Решите уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка =3 минус 3x.

г) Решите неравенство  левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка больше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

а) Область определения этой функции состоит из решений неравенства

8x минус x в квадрате минус 7 больше или равно 0 равносильно x в квадрате минус 8x плюс 7 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 1 меньше или равно x меньше или равно 7.

б) Посчитаем каждое из чисел отдельно:

2f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =2 корень из 9 минус корень из 8=2 умножить на 3 минус корень из 8=6 минус корень из 8,

f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = корень из 24 минус 9 минус 7= корень из 8.

Поскольку 6 минус корень из 8 больше 3 больше корень из 8, то 2f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка .

в) Запишем уравнение в виде  корень из минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка =3 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка и возведем в квадрат при условии x меньше или равно 1:

 минус левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка =9 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка =9 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно
 равносильно левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 минус 9 левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 минус 9 плюс 9x правая круглая скобка =0 равносильно левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 10x минус 16 правая круглая скобка =0.

Значит, либо x=1, либо x=1,6 (не годится, условие x меньше или равно 1 не выполнено).

г) Запишем неравенство в виде  левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка корень из левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка больше или равно 0. Если x=1 или x=7, то неравенство превращается в 0 больше или равно 0, что верно. Значит, такие x точно войдут в ответ. Если же x принадлежит левая круглая скобка 1;7 правая круглая скобка (рассматривать x меньше 1 или x больше 7 бессмысленно, для них не определена функция), то  корень из левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка больше 0 и на него можно сократить, получим  левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно x больше или равно 5.

 

Ответ: а)  левая квадратная скобка 1;7 правая квадратная скобка , б) 2f левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус f левая круглая скобка 5 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка , в) 1, г)  левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 5;7 правая квадратная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1958

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 2000 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Иррациональные неравенства, Иррациональные уравнения и их системы, Область определения функции
?
Сложность: 5 из 10