PDF-версии: 
3.Б. Дана функция 
а) Напишите уравнение прямой l, касающейся графика функции 
в его точке с абсциссой 
б) Постройте график функции и прямую l.
в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
прямой l и осью Oy.
г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение 
имеет ровно два различных корня.
Решение. а) Уравнение касательной 
б) Функция 
1) ООФ: 
2) Производная 
Тогда 
при 
Функция возрастает на всей области определения.
3) Значения функции в некоторых точках: 
См. рис.
в) пределы интегрирования: 
Решим 
Итак, получаем:
г) ООВ: 
Имеем 
1) Вариант 
— не удовлетворяет ООВ.
2) Если 
то уравнение имеет два различных корня. Для уравнения 
Очевидно, что 
при 
Если 
то 
следовательно, 
Ответ: а) б) см. рис., в) 4 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис., в) 4 г) б) см. рис., в) 4 г)