Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1894
i

3.А. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

а)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции f.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус x плюс 3.

в)  Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции f на луче левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Вы­яс­ни­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра b урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =b имеет два раз­лич­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Для того, чтобы функ­ция была опре­де­ле­на, нужно чтобы x в квад­ра­те минус 1 было не­от­ри­ца­тель­но, то есть левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0, от­сю­да x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  За­пи­шем урав­не­ние в виде ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та = минус x плюс 3 и воз­ве­дем в квад­рат

дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =x в квад­ра­те минус 6x плюс 9 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 1=3x в квад­ра­те минус 18x плюс 27 рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те минус 18x плюс 28=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 9x плюс 14=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x=7. конец со­во­куп­но­сти .

За­ме­тим, что вто­рой ко­рень яв­ля­ет­ся по­сто­рон­ним, т. к. минус x плюс 3 мень­ше 0. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние имеет один ко­рень: x=2.

в)  Оче­вид­но при x боль­ше или равно 2 функ­ция x в квад­ра­те воз­рас­та­ет, а с ней и функ­ции x в квад­ра­те минус 1, дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , и ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та . Зна­чит, наи­мень­шее зна­че­ние у нее при x=2 и равно оно ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 2 в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та =1.

г)  Ясно, что при от­ри­ца­тель­ных b кор­ней нет, по­сколь­ку f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0. При не­от­ри­ца­тель­ных b урав­не­ние рав­но­силь­но

дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =b в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те =3b в квад­ра­те плюс 1 рав­но­силь­но x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3b в квад­ра­те плюс 1 конец ар­гу­мен­та ,

т. е. в точ­но­сти два корня. Ответ b боль­ше или равно 0.

 

Ответ: а) левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; б) левая фи­гур­ная скоб­ка 2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) 1; г) b боль­ше или равно 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1889

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1993 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 5 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025