Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1876
i

3В. Дан мно­го­член  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те плюс 4b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 2b в квад­ра­те плюс 2,  a при­над­ле­жит R .

а)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b такие, что мно­го­член  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся без остат­ка на мно­го­член  Q левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 4.

б)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b такие, что мно­го­член  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет три ве­ще­ствен­ных корня (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), сумма ко­то­рых равна 8.

в)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b такие, что мно­го­член  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка имеет три ве­ще­ствен­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

г)  Слу­чай­ным об­ра­зом вы­би­ра­ют число b из мно­же­ства целых чисел, при­над­ле­жа­щих от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3;7 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Опре­де­ли­те ве­ро­ят­ность того, что при этом зна­че­нии b число  x=2 яв­ля­ет­ся кор­нем мно­го­чле­на  P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка крат­но­сти два.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Мно­го­член де­лит­ся на x в квад­ра­те минус 4= левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в том и толь­ко в том слу­чае, когда он имеет корни 2 и −2. Под­ста­вим их.

При x=2 по­лу­чим

8 минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 4 плюс левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те плюс 4b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 2 минус 2b в квад­ра­те плюс 2=0 рав­но­силь­но 8 минус 8b минус 8 плюс 2b в квад­ра­те плюс 8b минус 2 минус 2b в квад­ра­те плюс 2=0 рав­но­силь­но 0=0,

вы­пол­не­но все­гда.

При x= минус 2 по­лу­чим

 минус 8 минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 4 плюс левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те плюс 4b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2b в квад­ра­те плюс 2=0 рав­но­силь­но минус 8 минус 8b минус 8 минус 2b в квад­ра­те минус 8b плюс 2 минус 2b в квад­ра­те плюс 2=0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но минус 4b в квад­ра­те минус 16b минус 12=0 рав­но­силь­но b в квад­ра­те плюс 4b плюс 3=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка b плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний b= минус 1,b= минус 3. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: b при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1; минус 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

б)  Вос­поль­зу­ем­ся тем, что x=2 все­гда яв­ля­ет­ся кор­нем и вы­де­лим мно­жи­тель x минус 2, по­лу­чим

x в кубе минус 2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те плюс 4b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x минус 2b в квад­ра­те плюс 2=x в кубе минус 2bx в квад­ра­те минус 2x в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те x плюс 4bx минус x минус 2b в квад­ра­те плюс 2=
=x в кубе минус 2x в квад­ра­те минус 2bx в квад­ра­те плюс 4bx плюс b в квад­ра­те x минус 2b в квад­ра­те минус x плюс 2=x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2bx левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс b в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 2bx плюс b в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус b пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда его корни это 2,b плюс 1,b минус 1 и по усло­вию

2 плюс b минус 1 плюс b плюс 1=8 рав­но­силь­но 2b=6 рав­но­силь­но b=3.

в)  Тео­ре­ти­че­ски воз­мож­ны три си­ту­а­ции  — какой из кор­ней будет сред­ним чле­ном про­грес­сии. Пер­вый слу­чай 2 плюс b плюс 1=2 левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда b=5 и корни 2,4,6. Вто­рой слу­чай 2 плюс b минус 1=2 левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , тогда b= минус 1 и корни 2, 0, минус 2. Тре­тий слу­чай b плюс 1 плюс b минус 1=2 умно­жить на 2, тогда b=2 и корни 2,3,1.

Ответ: b= минус 1, b=2, b=5.

г)  Нужно, чтобы одно из чисел b плюс 1 или b минус 1 ока­за­лось равно 2, то есть b=1 или b=3. При этом вто­рое из этих чисел ока­зы­ва­ет­ся не равно двой­ке (так что ко­рень будет имен­но крат­но­сти 2, а не 3). Итак, нам под­хо­дят 2 числа из 11 целых чисел от­рез­ка  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3;7 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби 11.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1; минус 3 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  b=3; в) b= минус 1, b=2, b=5; г)  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: конец дроби 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1871

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2000 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи о мно­го­чле­нах, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10