Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1857
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =\log _3 левая круг­лая скоб­ка 4x минус x в квад­ра­те плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Най­ди­те все такие числа a, что f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =2.

б)  Пусть a=5. Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно \log _ ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6x плюс 2 конец ар­гу­мен­та .

в)  Пусть a=5. Най­ди­те про­ме­жут­ки мо­но­тон­но­сти функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все такие a, что мно­же­ство зна­че­ний, при­ни­ма­е­мых функ­ци­ей f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка при x боль­ше или равно 2 из об­ла­сти ее опре­де­ле­ния, со­дер­жит луч левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Под­ста­вим и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 8 минус 4 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка =2 рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 4 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 9 рав­но­силь­но 4 плюс a=9 рав­но­силь­но a=5.

б)  Вы­ве­дем и решим не­ра­вен­ство:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 4x минус x в квад­ра­те плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 левая круг­лая скоб­ка 6x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4x минус x в квад­ра­те плюс 5 боль­ше 0,4x минус x в квад­ра­те плюс 5 мень­ше или равно 6x плюс 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4x минус x в квад­ра­те плюс 5 боль­ше 0,x в квад­ра­те плюс 2x минус 3 боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 1 мень­ше x мень­ше 5, со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 3,x боль­ше или равно 1 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но 1 мень­ше или равно x мень­ше 5.

в)  Рас­смат­ри­ва­е­мая функ­ция опре­де­ле­на на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка минус 1; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка . Функ­ция y=4x минус x в квад­ра­те плюс 5 оче­вид­но воз­рас­та­ет на луче левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и убы­ва­ет на луче левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Так как функ­ция y= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x воз­рас­та­ет на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния, то дан­ная функ­ция f воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке левая круг­лая скоб­ка минус 1; 2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 2; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Ясно, что если зна­че­ние функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =4x минус x в квад­ра­те плюс a при x=2 не­по­ло­жи­тель­но, то функ­ция f нигде не опре­де­ле­на. На луче левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция g убы­ва­ет; ясно, что если g левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0, то функ­ция f при x боль­ше или равно 2 из об­ла­сти её опре­де­ле­ния при­ни­ма­ет все зна­че­ния, не пре­вос­хо­дя­щие f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка . По­это­му тре­бу­е­мое вы­пол­ня­ет­ся тогда и толь­ко тогда, когда f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 2. Ре­ше­ни­ем со­от­вет­ству­ю­ще­го не­ра­вен­ства и по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ:1. а) a=5; б) левая квад­рат­ная скоб­ка 1; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) на левая квад­рат­ная скоб­ка 2; 5 пра­вая круг­лая скоб­ка функ­ция убы­ва­ет; на левая круг­лая скоб­ка минус 1;2 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка  — воз­рас­та­ет; г) a боль­ше или равно 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1862

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1999 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ир­ра­ци­о­наль­ные не­ра­вен­ства, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Урав­не­ния и не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025