Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1852
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

в)  Най­ди­те мно­же­ство зна­че­ний функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все такие числа b, что числа f левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и f левая круг­лая скоб­ка b минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­уда­ле­ны от числа f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ко­мую функ­цию

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

а)  За­пи­шем урав­не­ние в виде 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и обо­зна­чим 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =t. Тогда

t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 3t в квад­ра­те плюс 3=10t рав­но­силь­но 3t в квад­ра­те минус 10t плюс 3=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=3,x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =3,3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x минус 1=1,x минус 1= минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=2,x=0. конец со­во­куп­но­сти .

б)  За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и обо­зна­чим 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =t. Тогда

t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 10, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби \undersett боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но 3t в квад­ра­те плюс 3 мень­ше 10t рав­но­силь­но 3t в квад­ра­те минус 10t плюс 3 мень­ше 0, рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 3t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше t мень­ше 3.

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 3 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше x минус 1 мень­ше 1 рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше 2.

Ответ: x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Возь­мем про­из­вод­ную от дан­ной функ­ции

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ' плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка '=

=3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 плюс 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 3 левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что по­ло­жи­тель­но при 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 1 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть при x боль­ше 1 и от­ри­ца­тель­но, ана­ло­гич­но, при x мень­ше 1.

Зна­чит функ­ция убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Таким об­ра­зом, наи­мень­шее ее зна­че­ние будет f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2, а мно­же­ство зна­че­ний  — левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка , по­сколь­ку при xarrow плюс бес­ко­неч­ность и f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка arrow плюс бес­ко­неч­ность .

г)  За­пи­шем усло­вие в виде

\absf левая круг­лая скоб­ка b минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка =\absf левая круг­лая скоб­ка b плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка b пра­вая круг­лая скоб­ка

и упро­стим это урав­не­ние

\abs3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =\abs3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка b минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка

\abs дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни b , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни b конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни b , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни b конец дроби =\abs3 умно­жить на 3 в сте­пе­ни a плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 3 в сте­пе­ни b конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3 в сте­пе­ни b , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни b конец дроби

\abs минус дробь: чис­ли­тель: 8 умно­жить на 3 в сте­пе­ни b , зна­ме­на­тель: 27 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: 3 в сте­пе­ни b конец дроби =\abs дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби 3 в сте­пе­ни b минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 умно­жить на 3 в сте­пе­ни b конец дроби .

Обо­зна­чим 3 в сте­пе­ни b =t и до­мно­жим обе части урав­не­ния на t

\abs минус дробь: чис­ли­тель: 8t, зна­ме­на­тель: 27 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 24, зна­ме­на­тель: t конец дроби =\abs дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби t минус дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 3t конец дроби рав­но­силь­но \abs минус 8t в квад­ра­те плюс 24 умно­жить на 27=\abs72t в квад­ра­те минус 72 рав­но­силь­но \abs минус t в квад­ра­те плюс 3 умно­жить на 27=\abs9t в квад­ра­те минус 9 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но \abs минус t в квад­ра­те плюс 81=\abs9t в квад­ра­те минус 9 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус t в квад­ра­те плюс 81=9t в квад­ра­те минус 9,t в квад­ра­те минус 81=9t в квад­ра­те минус 9 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 10t в квад­ра­те =90,8t в квад­ра­те = минус 72 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t в квад­ра­те =9,t в квад­ра­те = минус 9 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но t=3.

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим 3 в сте­пе­ни b =3 рав­но­силь­но b=1.

Ответ: b=1.

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка 0;2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) левая круг­лая скоб­ка 0;2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) левая квад­рат­ная скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; г) b=1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1847

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1997 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025