Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1847
i

1.  Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =5.

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 5.

в)  Ис­сле­дуй­те функ­цию f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на мо­но­тон­ность.

г)  Най­ди­те все такие числа a, что числа f левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и f левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­уда­ле­ны от числа f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ко­мую функ­цию

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни x плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни x плюс дробь: чис­ли­тель: 2 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =2 в сте­пе­ни x плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x конец дроби .

а)  За­пи­шем урав­не­ние в виде 2 в сте­пе­ни x плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x конец дроби =5 и обо­зна­чим 2 в сте­пе­ни x =t. Тогда

t плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: t конец дроби =5 рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс 4=5t рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 5t плюс 4=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t=1,t=4. конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 в сте­пе­ни x =1,2 в сте­пе­ни x =4 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x=2. конец со­во­куп­но­сти .

б)   За­пи­шем не­ра­вен­ство в виде 2 в сте­пе­ни x плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни x конец дроби боль­ше 5 и обо­зна­чим 2 в сте­пе­ни x =t. Тогда

t плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: t конец дроби боль­ше 5 \undersett боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но t в квад­ра­те плюс 4 боль­ше 5t рав­но­силь­но t в квад­ра­те минус 5t плюс 4 боль­ше 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t мень­ше 1,t боль­ше 4. конец со­во­куп­но­сти .

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2 в сте­пе­ни x мень­ше 1,2 в сте­пе­ни x боль­ше 4 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше 0,x боль­ше 2. конец со­во­куп­но­сти .

Ответ: x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Возь­мем про­из­вод­ную от дан­ной функ­ции

f' левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка '=2 в сте­пе­ни x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка '=
=2 в сте­пе­ни x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 плюс 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 в сте­пе­ни x на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2= на­ту­раль­ный ло­га­рифм 2 левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни x минус 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что по­ло­жи­тель­но при 2 в сте­пе­ни x боль­ше 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть при x боль­ше 1 и от­ри­ца­тель­но, ана­ло­гич­но при x мень­ше 1.

Зна­чит функ­ция убы­ва­ет при x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  За­пи­шем усло­вие в виде

\absf левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка =\absf левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка

и упро­стим это урав­не­ние

\abs2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни a плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни a конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =\abs2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни a плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни a конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка

\abs дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни a , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни a конец дроби минус 2 в сте­пе­ни a минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни a конец дроби =\abs2 умно­жить на 2 в сте­пе­ни a плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни a конец дроби минус 2 в сте­пе­ни a минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни a конец дроби

\abs минус дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни a , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни a конец дроби =\abs2 в сте­пе­ни a минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 2 в сте­пе­ни a конец дроби .

Обо­зна­чим 2 в сте­пе­ни a =t и до­мно­жим обе части урав­не­ния на t

\abs минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: t конец дроби =\abst минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t конец дроби рав­но­силь­но \abs минус t в квад­ра­те плюс 8=\abs2t в квад­ра­те минус 4 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус t в квад­ра­те плюс 8=2t в квад­ра­те минус 4,t в квад­ра­те минус 8=2t в квад­ра­те минус 4 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t в квад­ра­те =4,t в квад­ра­те = минус 4 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но t=2.

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим 2 в сте­пе­ни a =2 рав­но­силь­но a=1.

Ответ: a=1.

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка 0;2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) на функ­ция левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка убы­ва­ет; на левая квад­рат­ная скоб­ка 1; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка   — воз­рас­та­ет; г) a=1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1852

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1997 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, По­ка­за­тель­ные не­ра­вен­ства, По­ка­за­тель­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025