PDF-версии: 
3Б. Дана функция 
а) Напишите уравнения касательных к графику функции 
параллельных оси абсцисс.
б) Постройте график функции 
на отрезке 
в) Докажите, что 
г) Найдите наименьшее значение площади фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми 
для 
Решение. а) Возьмём производную: 
при 
б) Исследуем функцию f на монотонность: ясно, что функция f возрастает на луче
и на луче 
убывает на промежутке 
и на промежутке 
в) Ясно, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции f и прямыми 
равна интегралу 
Но эта площадь заведомо меньше площади прямоугольника, образованного прямыми 
Но эта площадь равна 
г) Достаточно найти наименьшее значение интеграла 
при 
Найдем производную:
Но 
если 
или 
Исследуем функцию g на луче 
Так как функция g убывает на промежутке
и возрастает на луче 
то наименьшее значение функции g равно 
ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ: Сравним площадь
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f и прямыми с площадью 
криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f и прямыми 
например, для 
Заметим, что для всех 
и для любого 
поэтому ясно, что 
Рассуждая аналогично, получим, что при всех 
площади соответствующих криволинейных трапеций больше, чем 
Таким образом, остается найти значение этого интеграла.
Ответ: 3Б. а) 
б) см. рис.; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) см. рис.; г) б) см. рис.; г)