PDF-версии: 
2. Дана функция 
а) Решите неравенство 
б) Решите уравнение 
в) Найдите промежутки монотонности функции 
г) Выясните, существует ли такое положительное число a, что уравнение 
имеет ровно два решения.
Решение. а) Преобразуем: 
Обозначая 
получаем неравенство 
Отсюда: 
Теперь решим неравенство 
б) Имеем уравнение 
Решая уравнения
получаем ответ: 
в) Исследуем функцию 
Она, очевидно, убывает на луче 
и возрастает на луче 
возрастает на луче 
и 
при 
имеем ответ: функция f на промежутке 
убывает, а на луче 
— возрастает.
г) Введем функцию 
Обозначим и 
Достаточно выяснить, существует ли такое число b, что уравнение 
имеет ровно два решения. Но оно имеет или одно решение 
или бесконечно много решений 
ДРУГОЕ РЕШЕНИЕ: Предположим, что найдется такое a, что уравнение 
имеет ровно два решения 
и 
Пусть, например, 
(
очевидно, не подходит, но для 
можно провести аналогичное рассуждение). Ясно, что 
Но пользуясь проведенным исследованием на монотонность, заключаем, что 
Но тогда 
— противоречие.
Ответ: а) 
б) 
в) на функция убывает; на — возрастает; г) не существует.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) на функция убывает; на — возрастает; г) не существует. б) в) на функция убывает; на — возрастает; г) не существует.