PDF-версии: 
3А. Дана функция 
а) Напишите уравнение касательной m к графику функции f в точке с абсциссой 2.
б) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции f на отрезке 
в) Постройте график функции f на отрезке 
г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f, касательной m и осью абсцисс.
Решение. а) Возьмем ее производную.
поэтому при 
получаем 
и 
поэтому уравнение касательной имеет вид
б) Решим уравнение.
Ясно, что при 
получим 
откуда 
и 
значит, 
убывает при и аналогично возрастает при 
поэтому ее наибольшее значение это 
а наименьшее либо 
либо 
Получаем, что наименьшее значение 
а наибольшее 
в) Продолжим исследовать функцию. Мы уже знаем, что она убывает на 
и знаем, что поэтому других корней у нее нет. Она определена при всех 
непрерывна, асимптот не имеет. Осталось исследовать выпуклость.
поэтому функция выпукла вверх на всем промежутке. Так как 
значит, функция принимает все значения из промежутка 
г) Касательная пересекает ось в такой точке, где 
то есть 
Поскольку функция выпукла вверх, касательная лежит выше графика функции. Значит, область ограничена сверху касательной к графику функции, а снизу на промежутке 
осью абсцисс, а на промежутке 
— графиком. Опустим на ось перпендикуляр из точки 
Под касательной образуется прямоугольный треугольник с катетами 2 и 
поэтому его площадь равна 
Посчитаем теперь площадь под графиком функции и вычтем полученную площадь из площади треугольника.
Ответ: а) 
б) 0 и 
в) см. рис., г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) 0 и в) см. рис., г) б) 0 и в) см. рис., г)