Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1714

Дана функция  f(x)=x в кубе плюс (a минус 1)x в квадрате минус (2a в квадрате плюс a)x плюс 2a в квадрате ,  a принадлежит R .

а) Пусть  a=1. Решите уравнение  f(x)=0.

б) Найдите все значения параметра a такие, что многочлен  y=f(x) делится без остатка на многочлен  P(x)=x в квадрате минус 3x плюс 2.

в) Найдите все значения параметра a такие, что касательная к графику функции  f(x) в его точке с абсциссой  x_0=1 параллельна прямой  y=1.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  дробь: числитель: f(x), знаменатель: x минус 2 конец дроби =0 имеет ровно два различных вещественных корня.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходную функцию:

f(x)=x в кубе плюс (a минус 1)x в квадрате минус (2a в квадрате плюс a)x плюс 2a в квадрате =x в кубе плюс ax в квадрате минус x в квадрате минус 2a в квадрате x минус ax плюс 2a в квадрате =
=x в кубе минус x в квадрате плюс ax в квадрате минус ax минус 2a в квадрате x плюс 2a в квадрате =x в квадрате (x минус 1) плюс ax(x минус 1) минус 2a в квадрате (x минус 1)=
=(x минус 1)(x в квадрате плюс ax минус 2a в квадрате )=(x минус 1)(x минус a)(x плюс 2a).

а) При a=1 получаем уравнение (x минус 1)(x минус 1)(x плюс 2)=0 с корнями x=1 и x= минус 2.

б) Разложим многочлен x в квадрате минус 3x плюс 2 на (x минус 1)(x минус 2), поэтому нужно, чтобы у исходного многочлена были такие же (или пропорциональные, но здесь все коэффициенты при x равны 1) множители. (x минус 1) точно есть, значит

 совокупность выражений x минус a=x минус 2,x плюс 2a=x минус 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a=2,a= минус 1. конец совокупности .

в) Касательная параллельна прямой y=1 если она горизонтальна, то есть ее угловой коэффициент равен нулю. Значит, значение производной в точке 1 должно быть равно 0. Учитывая, что x=1 является корнем изначального многочлена и корнем производной, x=1 должно быть корнем кратности выше первой, то есть либо x минус a=x минус 1a=1), либо x плюс 2a=x минус 1a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ).

Отметим также, что f(1)=0, поэтому уравнение касательной будет y=0(x минус 1) плюс 0, то есть y=0. Значит, касательная — горизонтальная ось и она действительно параллельна прямой y=1, а не совпадает с ней.

Ответ: a=1, a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

г) Уравнение

 дробь: числитель: (x минус 1)(x минус a)(x плюс 2a), знаменатель: x минус 2 конец дроби

может иметь два корня в следующих случаях.

Первый случай: уравнение (x минус 1)(x минус a)(x плюс 2a)=0 имеет три корня, но один из них равен 2 и поэтому посторонний. Из пункта б мы знаем, что это происходит при a=2 и a= минус 1. Нетрудно видеть, что при этих a действительно все корни различны.

Второй случай: уравнение (x минус 1)(x минус a)(x плюс 2a)=0 имеет только два корня, то есть какие-то из чисел 1,a, минус 2a совпадают между собой. Есть три варианта

1. a=1, тогда корни 1 и −2 — годится.

2. a= минус 2a равносильно a=0, тогда корни 1 и 0 — годится.

3.  минус 2a=1 равносильно a= минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , тогда корни 1 и  минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби  — годится.

Ответ: a принадлежит \ минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0;1;2\.

 

Ответ: а)  \ минус 2;1\; б)  \ минус 1;2\; в)  \left\ минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1 \; г)  \left\ минус 1; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;0;1;2 \.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1719

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 1
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Касательная к графику функции, Рациональные уравнения и их системы, Уравнения с параметром
?
Сложность: 9 из 10