Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1719

3В. Дана функция  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка 2a в квадрате минус 2a правая круглая скобка x плюс 4a в квадрате ,  a принадлежит R .

а) Пусть  a=1. Решите уравнение  f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0.

б) Найдите все значения параметра a такие, что многочлен  y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка делится без остатка на многочлен  P левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус 3x плюс 2.

в) Найдите все значения параметра a такие, что касательная к графику функции  f левая круглая скобка x правая круглая скобка в его точке с абсциссой  x_0=2 параллельна прямой  y=5.

г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение  дробь: числитель: f левая круглая скобка x правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби =0 имеет ровно три различных вещественных корня.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходную функцию:

f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в квадрате минус левая круглая скобка 2a в квадрате минус 2a правая круглая скобка x плюс 4a в квадрате =x в кубе минус ax в квадрате минус 2x в квадрате минус 2a в квадрате x плюс 2ax плюс 4a в квадрате =
=x в кубе минус 2x в квадрате минус ax в квадрате плюс 2ax минус 2a в квадрате x плюс 4a в квадрате =x в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус ax левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка минус 2a в квадрате левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =
= левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус ax минус 2a в квадрате правая круглая скобка = левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка .

а) При a=1 получаем уравнение  левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =0 с корнями x= минус 1 и x=2.

б) Разложим многочлен x в квадрате минус 3x плюс 2 на  левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка , поэтому нужно, чтобы у исходного многочлена были такие же (или пропорциональные, но здесь все коэффициенты при x равны 1) множители.  левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка точно есть, значит

 совокупность выражений x плюс a=x минус 1,x минус 2a=x минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a= минус 1,a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

в) Касательная параллельна прямой y=5 если она горизонтальна, то есть ее угловой коэффициент равен нулю. Значит, значение производной в точке 2 должно быть равно 0. Учитывая, что x=2 является корнем изначального многочлена и корнем производной, x=2 должно быть корнем кратности выше первой, то есть либо x плюс a=x минус 2a= минус 2), либо x минус 2a=x минус 2a=1).

Отметим также, что f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =0, поэтому уравнение касательной будет y=0 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс 0, то есть y=0. Значит, касательная — горизонтальная ось и она действительно параллельна прямой y=5, а не совпадает с ней.

Ответ: a=1, a= минус 2.

г) Уравнение

 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка , знаменатель: x минус 1 конец дроби

может иметь три корня, если уравнение  левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2a правая круглая скобка =0 имеет три различных корня (2,2a, минус a) и ни один из них не равен 1. Мы уже знаем из пункта б), что одним из корней будет x=1 при a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , a= минус 1.

Теперь выясним, когда корни совпадают. Есть три варианта:

 минус a=2 равносильно a= минус 2,

 минус a=2a равносильно a=0,

2=2a равносильно a=1.

Итак, все эти значения запрещены, а остальные годятся.

Ответ: a не равно минус 2; минус 1;0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ;1

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка минус 1;2 правая фигурная скобка ; б)  левая фигурная скобка минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка ; в)  левая фигурная скобка минус 2;1 правая фигурная скобка ; г)  a не равно минус 2,  a не равно минус 1,  a не равно 0,  a не равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , a не равно 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1714

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Математические классы, Санкт-Петербург, 1995 год, вариант 2
? Классификатор: Задачи о многочленах, Касательная к графику функции, Рациональные уравнения и их системы, Уравнения с параметром, Функции, зависящие от параметра
?
Сложность: 9 из 10