Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1719
i

3В. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2a в квад­ра­те минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 4a в квад­ра­те , a при­над­ле­жит R .

а)  Пусть a=1. Ре­ши­те урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

б)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что мно­го­член y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка де­лит­ся без остат­ка на мно­го­член P левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те минус 3x плюс 2.

в)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка в его точке с абс­цис­сой x_0=2 па­рал­лель­на пря­мой y=5.

г)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби =0 имеет ровно три раз­лич­ных ве­ще­ствен­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ную функ­цию:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =x в кубе минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2a в квад­ра­те минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс 4a в квад­ра­те =x в кубе минус ax в квад­ра­те минус 2x в квад­ра­те минус 2a в квад­ра­те x плюс 2ax плюс 4a в квад­ра­те =
=x в кубе минус 2x в квад­ра­те минус ax в квад­ра­те плюс 2ax минус 2a в квад­ра­те x плюс 4a в квад­ра­те =x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ax левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2a в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус ax минус 2a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  При a=1 по­лу­ча­ем урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 с кор­ня­ми x= минус 1 и x=2.

б)  Раз­ло­жим мно­го­член x в квад­ра­те минус 3x плюс 2 на левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му нужно, чтобы у ис­ход­но­го мно­го­чле­на были такие же (или про­пор­ци­о­наль­ные, но здесь все ко­эф­фи­ци­ен­ты при x равны 1) мно­жи­те­ли. левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка точно есть, зна­чит

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x плюс a=x минус 1,x минус 2a=x минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a= минус 1,a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

в)  Ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y=5 если она го­ри­зон­таль­на, то есть ее уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен нулю. Зна­чит, зна­че­ние про­из­вод­ной в точке 2 долж­но быть равно 0. Учи­ты­вая, что x=2 яв­ля­ет­ся кор­нем из­на­чаль­но­го мно­го­чле­на и кор­нем про­из­вод­ной, x=2 долж­но быть кор­нем крат­но­сти выше пер­вой, то есть либо x плюс a=x минус 2 (и a= минус 2), либо x минус 2a=x минус 2 (и a=1).

От­ме­тим также, что f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0, по­это­му урав­не­ние ка­са­тель­ной будет y=0 левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 0, то есть y=0. Зна­чит, ка­са­тель­ная  — го­ри­зон­таль­ная ось и она дей­стви­тель­но па­рал­лель­на пря­мой y=5, а не сов­па­да­ет с ней.

Ответ: a=1, a= минус 2.

г)  Урав­не­ние

дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус 1 конец дроби

может иметь три корня, если урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка =0 имеет три раз­лич­ных корня (2,2a, минус a) и ни один из них не равен 1. Мы уже знаем из пунк­та б), что одним из кор­ней будет x=1 при a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , a= минус 1.

Те­перь вы­яс­ним, когда корни сов­па­да­ют. Есть три ва­ри­ан­та:

минус a=2 рав­но­силь­но a= минус 2,

минус a=2a рав­но­силь­но a=0,

2=2a рав­но­силь­но a=1.

Итак, все эти зна­че­ния за­пре­ще­ны, а осталь­ные го­дят­ся.

Ответ: a не равно минус 2; минус 1;0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;1

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1;2 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) левая фи­гур­ная скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) левая фи­гур­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; г) a не равно минус 2, a не равно минус 1, a не равно 0, a не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , a не равно 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1714

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1995 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: За­да­чи о мно­го­чле­нах, Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции, Ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром, Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
?
Сложность: 9 из 10
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025