PDF-версии: 
Дана функция 
а) Пусть 
Решите уравнение 
б) Найдите все значения параметра a такие, что многочлен 
делится без остатка на многочлен 
в) Найдите все значения параметра a такие, что касательная к графику функции 
в его точке с абсциссой 
параллельна прямой 
г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение 
имеет ровно два различных вещественных корня.
Решение. Преобразуем исходную функцию:
а) При 
получаем уравнение 
с корнями 
и 
б) Разложим многочлен 
на 
поэтому нужно, чтобы у исходного многочлена были такие же (или пропорциональные, но здесь все коэффициенты при x равны 1) множители. 
точно есть, значит
в) Касательная параллельна прямой 
если она горизонтальна, то есть ее угловой коэффициент равен нулю. Значит, значение производной в точке 1 должно быть равно 0. Учитывая, что является корнем изначального многочлена и корнем производной, должно быть корнем кратности выше первой, то есть либо 
(и ), либо 
(и 
).
Отметим также, что 
поэтому уравнение касательной будет 
то есть 
Значит, касательная — горизонтальная ось и она действительно параллельна прямой 
а не совпадает с ней.
Ответ: 
г) Уравнение
Первый случай: уравнение 
имеет три корня, но один из них равен 2 и поэтому посторонний. Из пункта б мы знаем, что это происходит при 
и 
Нетрудно видеть, что при этих a действительно все корни различны.
Второй случай: уравнение имеет только два корня, то есть какие-то из чисел 
совпадают между собой. Есть три варианта
1. тогда корни 1 и −2 — годится.
2. 
тогда корни 1 и 0 — годится.
3. 
тогда корни 1 и 
— годится.
Ответ: 
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
г) Уравнение
Первый случай: уравнение имеет три корня, но один из них равен 2 и поэтому посторонний. Из пункта б мы знаем, что это происходит при и Нетрудно видеть, что при этих a действительно все корни различны.
Второй случай: уравнение имеет только два корня, то есть какие-то из чисел совпадают между собой. Есть три варианта
1. тогда корни 1 и −2 — годится.
2. тогда корни 1 и 0 — годится.
3. тогда корни 1 и — годится.
Ответ: а) б) в) г)
г) Уравнение
Первый случай: уравнение имеет три корня, но один из них равен 2 и поэтому посторонний. Из пункта б мы знаем, что это происходит при и Нетрудно видеть, что при этих a действительно все корни различны.
Второй случай: уравнение имеет только два корня, то есть какие-то из чисел совпадают между собой. Есть три варианта
1. тогда корни 1 и −2 — годится.
2. тогда корни 1 и 0 — годится.
3. тогда корни 1 и — годится.
Ответ: а) б) в) г)