PDF-версии: 
3Б. Дана функция 
а) Найдите промежутки монотонности функции 
б) Изобразите на чертеже множество всех точек с координатами 
такими, что 
в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции 
и прямой 
г) Случайным образом выбираются числа x и y из отрезка 
Выясните, при каких значениях параметра a вероятность того, что выбираются числа, удовлетворяющие условию 
равна 0,5.
Решение. Искомая функция определена при 
и 
то есть при 
а) Возьмем ее производную:
Знаменатель всегда положителен. Числитель же положителен в случае 
то есть 
и отрицателен при 
Значит, функция возрастает при 
и убывает при 
б) Из пункта а) следует, что 
при всех 
поскольку 
Поэтому неравенство 
равносильно условию 
Осталось изобразить график функции 
Мы уже почти все нужно для построения графика узнали, осталось только вычислить значение в точке максимума 
и исследовать выпуклость. Возьмем вторую производную:
в) Поскольку график проходит выше прямой, получаем
г) Условие 
равносильно тому, что y лежит на отрезке между a и 
но неизвестно, какой из концов меньший. Можно считать, что мы выбираем точку с координатами 
в квадрате 
Площадь этого квадрата 16, поэтому площадь фигуры, описываемой условием должна быть равна 8.
Как мы уже знаем, при 
площадь получается 
Если уменьшать a, то к площади будет добавляться прямоугольник с горизонтальной стороной 4. Нам надо добавить 
значит, его вертикальная сторона должна быть 
и 
Если же увеличивать a, то нам будут подходить некоторые точки области 
(см рисунок). Однако вся эта область - прямоугольник площади 4, поэтому его часть не может дать фигуру площади 8.
Ответ: 
Ответ: а) на 
функция возрастает; на 
— убывает; б) см. рис.; в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
а) на функция возрастает; на — убывает; б) см. рис.; в) г) а) на функция возрастает; на — убывает; б) см. рис.; в) г)