PDF-версии: 
Найдите критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции 
Решение. Вычислим производную:
При 
это выражение положительно и функция возрастает. При 
запишем его в виде
Знаменатель положителен, а числитель положителен при 
и отрицателен при 
Значит, производная положительна (и функция возрастает) при 
производная отрицательна (и функция убывает) при 
—
Таким образом, функция возрастает на 
и убывает на 
Критическими точками будут 0 (там не существует производной) и −1.
Ответ: а) критические точки: 
б) функция убывает на 
функция возрастает на 
в) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) функция убывает на функция возрастает на
в)
б) функция убывает на функция возрастает на
в)
и 
На промежутке между ними 
и график функции 
проходит выше оси. Тогда
Неравенство примет вид
имеют одинаковый модуль. В каких пределах может изменяться значение этого модуля?
Пусть 
тогда:
и радиусом 
Вся эта окружность лежит в первой четверти. Расстояние от ее центра до начала координат равно 
Значит, расстояние от начала координат до ближайшей ее точки равно 
а до самой удаленной — 
"Эти точки лежат на прямой, проходящей через начало координат и центр окружности.
имеет нечетное число корней на промежутке 
После замены 
оно превратится в квадратное, имеющее не более двух корней. Каждому из них соответствует лишь конечное число значений x на указанном промежутке. Значит, количество корней в любом случае конечно.
Тогда и 
образующее пару само с собой. Тогда 
откуда 
или 
парный к которому 
не лежит на указанном отрезке. Тогда 
откуда 
Значит, при 
), а при 
—
Не разрешается использовать микрокалькулятор и таблицы.
с единицей:
Преобразуем неравенство:
было не меньше единицы, оно автоматически будет положительно: 
Одним из корней многочлена в левой части является 
поэтому можно выделить в нем множитель 
Корнями второго множителя будут 
причем 
Тогда метод интервалов дает ответ на неравенство:
