1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Найдите наибольшее значение функции 
на промежутке 
г) Найдите все значения параметра a такие, что уравнение 
имеет решения.
Решение. Преобразуем исходную функцию
а) Решим уравнение:
Получаем
все равно не подходит в предыдущее уравнение
б) Решим неравенство. Обозначим 
тогда
Отметим, что 
поэтому для выполнения этого неравенства необходимо и достаточно выполнения условия 
откуда 
Вернемся к исходной переменной и получим 
в) Обозначим причем 
Нас интересует наибольшее значение выражения 
На этом отрезке оно отрицательно, поэтому знаменатель выгодно выбирать как можно более отрицательным. Наименьшее значение выражения
Тогда 
г) Решим уравнение. Сразу отметим, что 
получаем
тогда
Домножим на 
и запомним, что и 
не были корнями. Получим 
Это линейное уравнение при всех 
Очевидно ни при каком a не является его корнем, а будет корнем, если 
откуда 
Поэтому ответ 
Ответ:1. а) 
б) 
в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) в) г) б) в) г) 
и 
на промежутке 
на монотонность на промежутке 
с абсциссами 0, 
соответственно. Докажите, что дуги AB и BC графика функции 
(поскольку cинус отрицателен на отрезке 
и при этом 
по условию).
откуда 
Окончательно, учитывая условие 
получаем ответ 
получим 
выражение 
(и даже 
) неотрицательно, характер монотонности этой функции такой же, как у функции 
которая возрастает при 
(до достижения синусом значения 1) и убывает при 
Пусть это 
и 
Тогда
симметричен относительно вертикальной прямой 
поэтому его дуги AB и BC симметричны друг другу и, следовательно, равны.
б) 
в) на 
функция убывает; на 
— возрастает; г.) прямая 
— ось симметрии 
Число 
обозначается 
где 
таких, что 
найдите такие, при которых число 
будет наименьшим.
и 
к положительному направлению оси абсцисс. 
тогда 
откуда 
и 
Первое условие дает 
тогда второе превращается в 
откуда 
(и тогда 
) или 
Окончательно, подходят точки вида 
При этом 
Тогда 
при 
это дуга единичной окружности от 
до 
является 
Ясно, что ближайшая к 
Такое z разрешено.
в) 
г) 
касательной к графику функции 
удовлетворяющих условиям 
и 
таких, что 
Определите вероятность того, что 
и 
Решим уравнение 
функция может быть записана в виде 
и 
а 
Значит, уравнение касательной в точке 
производная которой 
и положительна при 
поэтому функция возрастает при 
и убывает на промежутке 
нужно исследовать функцию 
), значит, функция убывает при 
и 
и взять все точки, которые окажутся между ними. Мы уже знаем, что 
убывает на всем промежутке 
пересекает линию 
и ее график представляет собой части графиков двух кубических многочленов. Для построения графиков осталось только исследовать их выпуклость
и отрицательно при 
и при 
то есть к той же площади, к которой добавлена площадь прямоугольного треугольника с вершинами 
— она составляет 
б) на 
функция убывает; на 
— возрастает; г) 
и 
Решите уравнение 
Решите неравенство 
Определите вероятность того, что функция 
и 
равносильны.
то есть 
Получаем 
подходит, но при 
левая часть не определена. Наконец при 
обе части определены и неотрицательны и можно возвести неравенство в квадрат
определена всюду, кроме интервала с концами в точках 1 и 
Поэтому нужно, чтобы на этом интервале не было целых точек. Это верно при 
и 
поэтому «хороших» вариантов всего 2. Значит, вероятность равна 
(то есть 
) при любом a имеет корень 
значит, и уравнение 
должно иметь корень 
Подставим его
первое уравнение принимает вид 
первое уравнение принимает вид 
а второе вид 
Второе уравнение мы уже решали в пункте а, у него есть только корень 
то 
б) 
в) 
г) 