Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1877
i

1.  Дана функ­ция  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _2x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _2 левая круг­лая скоб­ка 4x пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _16x конец дроби .

б)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 0,25;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a такие, что урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _ax конец дроби имеет ре­ше­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ную функ­цию

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 4 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби =

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби .

а)  Решим урав­не­ние:

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 16 пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби .

обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x=t. По­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: t конец дроби рав­но­силь­но t=2t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

со­кра­тим на t, по­сколь­ку t=0 все равно не под­хо­дит в преды­ду­щее урав­не­ние

1=2 левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 1=2t плюс 4 рав­но­силь­но 2t= минус 3 рав­но­силь­но t= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­чим

 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x= минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но x=2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

б)  Решим не­ра­вен­ство. Обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x=t, тогда

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 12 плюс t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 12 плюс t в квад­ра­те плюс 2t, зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби мень­ше 0.

От­ме­тим, что t в квад­ра­те плюс 2t плюс 12= левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 11 боль­ше 0, по­это­му для вы­пол­не­ния этого не­ра­вен­ства не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вия t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0, от­ку­да  минус 2 мень­ше t мень­ше 0.

Вер­нем­ся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной и по­лу­чим  минус 2 мень­ше ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x мень­ше 0 рав­но­силь­но x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x=t, при­чем t при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2;0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Нас ин­те­ре­су­ет наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби . На этом от­рез­ке оно от­ри­ца­тель­но, по­это­му зна­ме­на­тель вы­год­но вы­би­рать как можно более от­ри­ца­тель­ным. Наи­мень­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния

t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =t в квад­ра­те плюс 2t= левая круг­лая скоб­ка t плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 1

равно −1 и до­сти­га­ет­ся при t= минус 1. Тогда f левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: минус 1 конец дроби = минус 2.

г)  Решим урав­не­ние. Сразу от­ме­тим, что a не равно 1, по­лу­ча­ем

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a конец дроби конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a, зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x конец дроби .

Обо­зна­чим  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x=t, тогда

 дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс t пра­вая круг­лая скоб­ка t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a, зна­ме­на­тель: t конец дроби .

До­мно­жим на t левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка и за­пом­ним, что t=0 и t= минус 2 не были кор­ня­ми. По­лу­чим 2= левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a. Это ли­ней­ное урав­не­ние при всех a боль­ше 0, a не равно 1. Оче­вид­но t= минус 2 ни при каком a не яв­ля­ет­ся его кор­нем, а t=0 будет кор­нем, если 2=2 ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 a, от­ку­да a=2.

По­это­му ответ a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:1. а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка ; в)  минус 2; г)  левая круг­лая скоб­ка 0;1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1882

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2001 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: За­да­чи на наи­боль­шее и наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, Ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния и си­сте­мы, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 9 из 10