Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1878
i

2.  Даны функ­ции  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­си­нус x и  g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1.

а)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

б)  Ре­ши­те урав­не­ние  f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

в)  Ис­сле­дуй­те функ­цию  h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка на мо­но­тон­ность на про­ме­жут­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  Пусть A, B и C  — точки гра­фи­ка функ­ции  h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка с абс­цис­са­ми 0,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби со­от­вет­ствен­но. До­ка­жи­те, что дуги AB и BC гра­фи­ка функ­ции  h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка равны между собой.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ные функ­ции:

f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус x плюс ко­си­нус x=2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби синус x плюс синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка

g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1= ко­си­нус 2 левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1=1 минус 2 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1= минус 2 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка .

а)  Решим не­ра­вен­ство:

2 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка

или  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 2 Пи ; 2 Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка (по­сколь­ку cинус от­ри­ца­те­лен на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и при этом 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи по усло­вию).

Итак,  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 2 Пи ; 2 Пи плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , от­ку­да x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Окон­ча­тель­но, учи­ты­вая усло­вие x боль­ше или равно 0, по­лу­ча­ем ответ x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

б)  Решим урав­не­ние:

2 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 2 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =0, синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x= Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= Пи k минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,x= минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти .
k при­над­ле­жит Z .

в)  Упро­стим вы­ра­же­ние h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка минус g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка , по­лу­чим

2 синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =

=2 левая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­сколь­ку при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка вы­ра­же­ние  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби (и даже  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка ) не­от­ри­ца­тель­но, ха­рак­тер мо­но­тон­но­сти этой функ­ции такой же, как у функ­ции  синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка , ко­то­рая воз­рас­та­ет при x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка (до до­сти­же­ния си­ну­сом зна­че­ния 1) и убы­ва­ет при x при­над­ле­жит \left левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

г)  Рас­смот­рим два числа, сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Пусть это  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс y и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус y. Тогда

h левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =2 левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус в квад­ра­те y плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =
=2 левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =2 левая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = h левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус y пра­вая круг­лая скоб­ка .

Это озна­ча­ет, что гра­фик функ­ции h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка сим­мет­ри­чен от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной пря­мой x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­это­му его дуги AB и BC сим­мет­рич­ны друг другу и, сле­до­ва­тель­но, равны.

 

Ответ:2. а)  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ;2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; б)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; в) на  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка функ­ция убы­ва­ет; на  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка   — воз­рас­та­ет; г.) пря­мая  x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби   — ось сим­мет­рии  h левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1883

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 2001 год, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Три­го­но­мет­ри­че­ские не­ра­вен­ства, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
?
Сложность: 9 из 10