PDF-версии: 
Найдите промежутки возрастания функции 
Решение. Отметив, что функция определена и дифференцируема на 
найдем ее производную
и критическую точку 
На интервале 
производная примет вид 
а на 
имеем 
В силу непрерывности функции у в точке 
данная функция убывает на 
и возрастает на 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
и 
получим 
т. е. 
тогда 
получим 
и 
тогда 
получим 
тогда 
(см. рис.). Так как на 
то
Решите уравнение 
монотонно возрастает на 
то равенство 
возможно тогда и только тогда, когда 
и 
Таким образом, 
если
и определите, является ли его решением число 
являются числа 
и 
Основная трудность примера заключается в необходимости сравнить эти числа, естественно, без использования микрокалькулятора. Сравним: 
примет вид 
откуда получаем расстановку знаков значений функции, как показано на рисунке. Следовательно, решением исходного неравенства является любое 
Для ответа на второй вопрос примера, сравним 
Во-первых, очевидно 
Во-вторых:
Отсюда следует, что 
является решением исходного неравенства. 
является решением неравенства.
на отрезке 
то, в силу наличия множителя 4, неравного по модулю единице, сразу придем к противоречию. На отрезке 
только два числа удовлетворяют уравнению (1): 
и 
где a — некоторое число, причем 
Исходя из понимания того, что такое модуль числа, получаем, что приведенное уравнение равносильно уравнению 
является касательной к графику функции 
а при 
она имеет производную 
Предположим, что прямая касается графика в точке 
при 
Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система уравнений
не удовлетворяет системе 
а 
является ее решением. В этом случае
Если 
то
то
При 
не существует касательная вида 
мы не рассматриваем касательную к графику функции (2). Нам достаточно рассмотреть значения величины 
так как при 
прямая 
Производная функции (2) 
поэтому угловой коэффициент касательной (3) в точке касания 
есть 
так как 
то и 
отсюда
в уравнение прямой (3) получим
где 
проходящей через точку графика с абсциссой 
Составим 
при любом а, то найдем ту касательную (1), которая проходит через точку 
Ее угловой коэффициент 
то отсюда следует, что 
Уравнение (2) преобразится к виду
