РЕШУ УРОК, выпускные экзамены по математике: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

№ 3571

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y= корень из: начало аргумента: x конец аргумента ,$ $y= минус 2 корень из: начало аргумента: x конец аргумента$ и $x=4.$

Спрятать решение

Решение.

Найдем общие точки различных пар линий.

1)  При $корень из x = минус 2 корень из x ,$ получим $корень из x =0,$ т. е. $x=0,$ тогда $O левая круглая скобка 0; 0 правая круглая скобка ;$

2)  При $y= корень из x ,$ получим $x=4$ и $y=2,$ тогда $M левая круглая скобка 4; 2 правая круглая скобка ;$

3)  При $y= минус 2 корень из x ,$ получим $x=4$ и $y= минус 4,$ тогда $N левая круглая скобка 4; минус 4 правая круглая скобка .$

Сделаем эскиз графиков функций при $x принадлежит левая квадратная скобка 0; 4 правая квадратная скобка$ (см. рис.). Так как на $левая квадратная скобка 0; 4 правая квадратная скобка$ $корень из x больше или равно минус 2 корень из x ,$ то

$S = интеграл пределы: от 0 до 4, левая круглая скобка корень из x минус левая круглая скобка минус 2 корень из x правая круглая скобка правая круглая скобка dx =3 интеграл пределы: от 0 до 4, \left корень из x dx = \left 3 дробь: числитель: x корень из x , знаменатель: дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби конец дроби | пределы: от 0 до 4, = \left 2x корень из x | пределы: от 0 до 4, =16.$

Ответ: 16.

Естественно было бы вычислять площадь также как сумму площадей двух криволинейных трапеций (рис. а и б). Найдем:

$S_1 = интеграл пределы: от 0 до 4, \left корень из x dx = \left дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x корень из x | пределы: от 0 до 4, = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка 8 минус 0 правая круглая скобка = дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби$

$S_2 =2 интеграл пределы: от 0 до 4, \left корень из x dx =2 S_1= дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби ,$

тогда $S_искомая= дробь: числитель: 16, знаменатель: 3 конец дроби плюс дробь: числитель: 32, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 3 конец дроби =16.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 3577

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, РФ, 1995 год, работа 3, вариант 1

? Классификатор: Интеграл, вычисление площадей

Сложность: 2 из 10

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь