PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Возводя обе части уравнения в квадрат и учитывая при этом, что 
получим
Ⅱ способ. Сделаем замену 
Тогда 
и 
Исходное получаем
Заметим, что первый корень не удовлетворяет условию, т. к. 
Тогда 
т. е. 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
убывает на всей области определения.
поскольку 
при любом 
Таким образом, всюду на области определения производная данной функции отрицательна, откуда следует доказываемое.
Функция 
монотонно убывает 
а ее область определения задается неравенством 
т. е. 
В силу указанных условий исходное неравенство равносильно системе неравенств
определенной на отрезке 
и прямой, проходящей через точки 
и 
Найдем:
на интервале 
или 
Пусть 
Задачу можно переформулировать следующим образом: «Найти максимумы функции 
на интервале 
». 
Критические точки 
Обе эти точки принадлежат интервалу 
поскольку 
Отсюда находим максимум функции u: 
На заданном интервале 
поэтому могут быть только две критические точки
и 
а также из того, что функция 
монотонно убывает, следует, что 
и 
Заполним таблицу монотонности (см. рис.). Из нее видно, что x1 — единственная точка максимума на заданном интервале. Найдем максимум функции: 
имеет единственное решение?
тогда 
и исходное уравнение принимает вид
и 
уравнения (1) и наоборот. Отсюда следует, что задача определения таких значений параметра а, при которых уравнение (1) имеет единственное положительное решение, равносильна исходной.
откуда следует, что корни существуют при любом a: 
и 
Возможны три различных случая.
Этот случай имеет место только тогда, когда 
При этом 
т. е. уравнение (1) имеет единственное положительное решение.
и никакой из корней не равен нулю. В данном случае, если положительный корень единствен, то другой корень — отрицателен. Это возможно тогда и только тогда, когда 
т. е. 
и какой-то из корней равен нулю. Если 
то 
Этот случай не подходит. Если же 
то 
Значит, уравнение (1) имеет единственный положительный корень.