Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3465
i

Най­ди­те пло­щадь фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции y= синус x, опре­де­лен­ной на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка и пря­мой, про­хо­дя­щей через точки M левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; 1 пра­вая круг­лая скоб­ка и N левая круг­лая скоб­ка Пи ; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны схе­ма­тич­но гра­фи­ки дан­ной функ­ции и пря­мой MN, ука­зан­ная фи­гу­ра за­штри­хо­ва­на. Оче­вид­но ее пло­щадь S равна раз­но­сти пло­ща­дей S1 и S2 кри­во­ли­ней­ной тра­пе­ции PMN и пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PMN. Най­дем:

 S_1 = ин­те­грал пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби до Пи , \left синус x dx = левая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка ин­те­грал пре­де­лы: от дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби до Пи , =1

S_2=S_\Delta PMN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби PM умно­жить на PN= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,

тогда S=S_1 минус S_2=1 минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: 1 минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

За­ме­ча­ние. Мно­гие уче­ни­ки ре­ша­ли эту за­да­чу не­ра­ци­о­наль­но: на­хо­ди­ли урав­не­ние пря­мой MN, а пло­щадь затем вы­чис­ля­ли как ин­те­грал от раз­но­сти двух со­от­вет­ству­ю­щих функ­ций. Такое ре­ше­ние впол­не до­пу­сти­мо (и при вер­ном от­ве­те и вы­клад­ках оцен­ка не сни­жа­ет­ся), но го­во­рит о не­уме­нии уча­щих­ся ори­ен­ти­ро­вать­ся в до­ста­точ­но про­стых си­ту­а­ци­ях.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3471

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 4 из 10