Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 3466
i

Най­ди­те мак­си­му­мы функ­ции y= ко­си­нус 2x умно­жить на ко­си­нус x на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Решим за­да­чу двумя спо­со­ба­ми.

Ⅰ  спо­соб. При­ве­дем дан­ную функ­цию к виду y= левая круг­лая скоб­ка 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x, или y=2 ко­си­нус в кубе x минус ко­си­нус x. Пусть x=t. За­да­чу можно пе­ре­фор­му­ли­ро­вать сле­ду­ю­щим об­ра­зом: «Найти мак­си­му­мы функ­ции u=2t в кубе минус t на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ».

Вы­чис­лим про­из­вод­ную новой функ­ции u'=6t в квад­ра­те минус 1. Кри­ти­че­ские точки t= \pm дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 конец дроби . Обе эти точки при­над­ле­жат ин­тер­ва­лу  левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , по­сколь­ку  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Из таб­ли­цы мо­но­тон­но­сти на ри­сун­ке видно, что на мно­же­стве функ­ция и имеет един­ствен­ную точку мак­си­му­ма t= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 конец дроби . От­сю­да на­хо­дим мак­си­мум функ­ции u:

u_max= минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 6 ко­рень из 6 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 ко­рень из 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Ответ:  дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

 

Ⅱ  спо­соб. Про­из­вод­ная за­дан­ной функ­ции y'= синус x левая круг­лая скоб­ка 6 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . На за­дан­ном ин­тер­ва­ле  синус x не равно 0, по­это­му могут быть толь­ко две кри­ти­че­ские точки

x_1= арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и x_2= арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Из не­ра­венств  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 конец дроби мень­ше 0 и 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из 6 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , а также из того, что функ­ция  арк­ко­си­нус х мо­но­тон­но убы­ва­ет, сле­ду­ет, что  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x_1 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше x_2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Таким об­ра­зом, уста­нов­ле­но сле­ду­ю­щее: обе кри­ти­че­ские точки на­хо­дят­ся на ин­тер­ва­ле  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . За­пол­ним таб­ли­цу мо­но­тон­но­сти (см. рис.). Из нее видно, что x1  — един­ствен­ная точка мак­си­му­ма на за­дан­ном ин­тер­ва­ле. Най­дем мак­си­мум функ­ции:

 ко­си­нус 2x_1=2 ко­си­нус в квад­ра­те x_1 минус 1 рав­но­силь­но y= ко­си­нус 2x_1 умно­жить на ко­си­нус x_1= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 6 , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 3472

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, РФ, 1994 год, ра­бо­та 4, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Ис­сле­до­ва­ние функ­ций
?
Сложность: 5 из 10