№ 3466 

Выпускные экзамены по математике для школ России. Базовая программа. 17. Экстремумы, монотонность, исследование функций
i
Найдите максимумы функции
на интервале 
Спрятать решениеРешение. Решим задачу двумя способами.
Ⅰ способ. Приведем данную функцию к виду
или
Пусть
Задачу можно переформулировать следующим образом: «Найти максимумы функции
на интервале
».
Вычислим производную новой функции
Критические точки
Обе эти точки принадлежат интервалу
поскольку 
Из таблицы монотонности на рисунке видно, что на множестве функция и имеет единственную точку максимума
Отсюда находим максимум функции u:

Ответ: 
Ⅱ способ. Производная заданной функции
На заданном интервале
поэтому могут быть только две критические точки

Из неравенств
и
а также из того, что функция
монотонно убывает, следует, что
и
Таким образом, установлено следующее: обе критические точки находятся на интервале
Заполним таблицу монотонности (см. рис.). Из нее видно, что x1 — единственная точка максимума на заданном интервале. Найдем максимум функции:

Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: 
Задание парного варианта: 3472