PDF-версии: 
Решите неравенство 
Решение. Приведем данное неравенство к виду
Из того, что 3t — монотонно возрастающая на ℝ функция аргумента t, получаем 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
где 
Критические точки функции найдем из уравнения 
или 
или 
Приведем производную 
к такому виду:
и положительна при 
Характер монотонности функции на каждом из промежутков виден на рисунке.
функция возрастает на промежутке 
и 
с координатами вершины 
и с ветвями, направленными вниз. На рисунке фигура, о которой идет речь, заштрихована. Искомая площадь S равна разности площади S1 прямоугольника ABCD и площади S2 криволинейной трапеции ACD: где 
и 
и укажите его наибольший корень, принадлежащий отрезку 
где 
Получим уравнение 
Тогда задача сводится к совокупности уравнений 
и
решим ее:
Рассмотрим каждую из полученных трех серий решений и выясним, какие из найденных корней принадлежат отрезку 
Поскольку каждая серия корней — арифметическая прогрессия с разностью 
а длина указанного отрезка — тоже 
наибольший корень, принадлежащий указанному отрезку, есть 
имеет единственное решение? Найдите это решение.
Тогда исходное уравнение принимает вид 
а при 
корнем уравнения является 
(А). Необходимо теперь выделить множество тех значений параметра а, для которых выражение (А) удовлетворяет условию
Рассмотрим неравенство
Итак, на множестве
значений переменного х исходное уравнение при 
не имеет решений; при 
имеет единственное решение (А). Рассмотрим теперь случай 
Исходное уравнение принимает вид 
При 
имеет корень 
(Б). Теперь проверим выполнение условия 
Таким образом, на множестве 
значений переменного х исходное уравнение при 
имеет единственное решение (Б). Рассматривая в делом результаты для случаев 
и 
получаем, что исходное уравнение при 
не имеет решений; при 
имеет единственное решение (Б); при 
уравнение имеет единственное решение: 
Поэтому достаточно рассмотреть это уравнение на множестве 
значений переменного х. Пусть 
— какой−либо корень исходного уравнения. Тогда 
(В). Обратно, пусть выполняется соотношение (В) для некоторых двух значений параметра и неизвестного. Тогда при этом значении параметра величина х — один из корней исходного уравнения. В частности, если x1 и x2 — корни исходного уравнения при некотором значении параметра a0, то 
и 
Отсюда следует, что множество искомых значений параметра состоит из таких чисел a0, для каждого из которых график функции (В) пересекается прямой a = a0 ровно в одной точке (на плоскости 
при 
и 
Горизонтальная асимптота правой ветви графика — прямая x = 1, левой ветви — прямая x = −1. На графике видно, что прямая a = a0 пересекает его ровно в одной точке при 
Единственный раз прямая a = a0 пересекает график функции (В) в его левой части, которая задается уравнением 
откуда 
откуда следует, что x = 1 является асимптотой графика функции (единственная асимптота).
Отсюда 
и 
Построим таблицу монотонности (смотри рисунок). Функция, определенная на ℝ, может либо принимать свое максимальное (минимальное) значение в некоторой точке максимума (минимума), либо, уходя в бесконечность (т. е. бесконечно возрастая или бесконечно убывая), не достигать максимального или минимального значения. В данном случае при 
и 
Значит, предельное значение функции, равное 1, меньше ее значения 2,5 в единственной точке максимума и больше значения −0,5 в единственной точке минимума. Отсюда следует, что при 
для значений функции у выполняются неравенства 
На рисунке изображен график заданной функции.