PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Обозначим 
тогда
Эти действия допустимы, поскольку 
и 
(иначе выражение 
присутствующее в условии, будет не определено). Получаем
Заодно отметим, что подкоренное выражение всегда неотрицательно.
Итак, теперь нужно решить неравенство 
ОДЗ неравенства задается условиями и 
поэтому 
Используем теперь метод рационализации
Сократим на 
это допустимо, поскольку точка 
все равно будет выброшена из-за ОДЗ. Получим 
С учетом ОДЗ получаем окончательный ответ 
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
образующей с осями координат равнобедренный прямоугольный треугольник.
либо прямой 
то есть ее угловой коэффициент (значение производной в точке касания) должен быть равен 
Возьмем производную
сводится к 
и не имеет корней.
сводится к 
и дает 
или 
что среди чисел z, удовлетворяющих уравнению 
есть ровно одно число с модулем 1.
задает окружность с центром в точке 
и радиусом 
Эта окружность должна иметь единственную общую точку с множеством точек, имеющих модуль 1, то есть с единичной окружностью с центром в начале координат. Значит, эти окружности должны касаться (внешним или внутренним образом), то есть расстояние между их центрами (это 
) должно быть равно 
и 
и 
не имеет корней. Попробуем поделить 
на 
получим
то есть 
и k имеют одинаковую четность, то есть n — четное число, 
и 
причем 
в форме прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием требуются уголки по длине всех ребер (12 ребер) и стекло на боковые стенки и пол. Цена уголков — одна условная единица (у. е.) за погонный метр, цена стекла — 4 у. е. за квадратный метр. Каковы должны быть размеры аквариума, чтобы расходы на материал были минимальными?
Его поверхность состоит из пола размером 
четырех стенок размером 
а среди ребер восемь имеют длину x, а четыре — длину 
(у. е.)
положителен при 
можно угадать корень 
после чего выделить у него множитель 
поэтому знак производной совпадает со знаком 
То есть производная отрицательна (а функция убывает) при 
и производная положительна (а функция возрастает) при 
Значит, наименьшее значение она принимает при 
Размеры аквариума тогда 2 × 2 × 1,2 метра.