Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 2828
i

Ре­ши­те си­сте­му урав­не­ний  си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3 синус x, синус дробь: чис­ли­тель: 2x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­си­нус x. конец си­сте­мы .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Воз­ве­дем оба урав­не­ния в квад­рат и сло­жим их

 синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: 2x плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =9 синус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но 1=1 плюс 8 синус в квад­ра­те x рав­но­силь­но синус x=0 рав­но­силь­но x= Пи k, k при­над­ле­жит Z .

Тогда си­сте­ма при­мет вид

 левая фи­гур­ная скоб­ка \beginaligned ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0, синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­си­нус Пи k. \endaligned .

Пер­вое урав­не­ние си­сте­мы дает

 ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k плюс y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка Пи k плюс дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 ко­си­нус Пи k ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус синус Пи k синус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но \pm ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n рав­но­силь­но y= Пи плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Под­ста­вим эти зна­че­ния во вто­рое урав­не­ние

 синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k плюс 2 Пи n плюс Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­си­нус Пи k рав­но­силь­но синус левая круг­лая скоб­ка Пи k плюс Пи n плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус Пи k рав­но­силь­но ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка Пи k плюс Пи n пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус Пи k,

по­это­му n плюс k и k имеют оди­на­ко­вую чет­ность, то есть n  — чет­ное число, n=2t.

Окон­ча­тель­но x= Пи k и y= Пи плюс 4 Пи t, при­чем k,t при­над­ле­жит Z .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка Пи k; Пи плюс 4 Пи t пра­вая круг­лая скоб­ка : k,t при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2834

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РФ, 1999 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Си­сте­мы три­го­но­мет­ри­че­ских урав­не­ний
?
Сложность: 9 из 10