PDF-версии: 
Найдите все комплексные числа, удовлетворяющие двум условиям: 
и 
Решение. Пусть 
где 
По условию 
тогда
Поскольку два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их действительные и мнимые части, получаем
Из второго и третьего уравнений следует, что 
Подставим в первое уравнение 
Пусть 
тогда
Вернемся к исходной переменной и получим
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
то 
и отсюда 
Оценим 
то 
Далее, поскольку функция 
монотонно возрастающая при 
то
то 
Функция 
монотонно возрастающая при 
откуда следует
то 
или 
то
и 
не входят в ОДЗ.
и 
Поскольку длина отрезка 
равна 6 и меньше 2π, из этого отрезка исключается не более одной точки вида 
то есть точка 
Таким образом, исходное неравенство необходимо решить только для 
Рассмотрим два случая. 
и 
исходное неравенство выполняется, потому что величина под знаком корня равна нулю.
В этом случае 
и исходное неравенство равносильно следующему:
Тогда неравенство (1) примет вид 
получаем 
и 
(так как 
), то из полученной совокупности получаем (см. рис.)
имеет корни 
При 
При 
на 
имеем:
определен при 
при остальных k: 
разрывна в точке 
при 
или 
Тогда при 
при остальных k: 
имеет две серии решений. Первая серия 
Тогда при 
при всех остальных l: 
Тогда при 
при всех остальных m: 
мы получаем ответ. 
имеющая с графиком ровно две общие точки? Если да, то напишите ее уравнение.
) графика исходной функции — точку касания M. Для каждого 
найдем общие точки касательной с правой ветвью графика 
при 
), то для существования единственного положительного корня необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю, то есть 
Прямая найдена: 
доказать, что она обладает требуемыми свойствами, и этим ограничиться.Тем не менее, мы приведем избыточный способ решения, в котором доказывается, что найденная прямая — единственная (думаем, что такое упражнение очень полезно рассмотреть в математическом классе).
и 
Будем называть эти ветви левой и правой. 
где числа k и b пока не определены. Точка 
графика функции не может являться точкой касания, так как в ней нет производной.
этих двух точек касания имеют разные знаки: 
Поскольку угловой коэффициент k касательной равен значению производной функции в точке касания, мы получаем систему уравнений 
а также 
следует, что 
Далее 
является единственным решением задачи. Действительно, «сместим» полученную касательную так, чтобы касания ее с левой ветвью графика сместилась влево (или вправо). При этом новая касательная будет иметь с графиком функции только одну общую точку (соответственно три общие точки, при этом только одна из них — первоначальная является точкой касания). Аналогичная картина будет наблюдаться при смещении правой точки касания.
Производная функции при 
равна 
а уравнение касательной 
При 
уравнение (1) не имеет решений, поэтому касательная имеет только одну общую точку с графиком функции.
уравнение (2) имеет два решения 
При этом по теореме Виета 
(то есть корни — одного знака), 
откуда следует, что 
Ее уравнение 
По теореме Виета 
тогда имеем 
значит, 
и 
(три общие точки касательной и графика функции).
является одной из первообразных функции 
Найдите ту первообразную функции 
наибольшее значение которой на отрезке 
равно 0.
что и требовалось доказать.
функции 
Мы знаем, что 
где постоянная неизвестна (то есть задача заключается в нахождении этой постоянной). Найдем сначала наибольшее значение функции 
Для этого найдем нули производной функции на интервале (0;\,3). Поскольку 
при 
Имеем:
только при 
решим уравнение 
при 
При 
при 
при 
При 
то есть мы нашли три корня, а в итоге — четыре критические точки:
Множитель x и 
не меняют знак на интервале 
множитель 
меняет знак в точке 
и положителен в окрестности нуля. Множитель 
меняет знак в каждой из остальных трех точек и положителен в окрестности нуля. Отсюда получаем расстановку знаков, показанную на рисунке. Таким образом, каждая из четырех точек является точкой экстремума.
достигается в одной из трех точек 
и 
Сравним значения функции в этих точках
Так как 
то 
и 
С другой стороны 
откуда 
что и требовалось доказать.
при 
Если положить 
то, очевидно, 
при 