Докажите, что функция 
является одной из первообразных функции 
Найдите ту первообразную функции 
наибольшее значение которой на отрезке 
равно 0.
Применяя формулы дифференцирования сложной функции, получаем
что и требовалось доказать.Решим вторую часть задачи. Необходимо найти первообразную 
функции такую, что 
Мы знаем, что 
где постоянная неизвестна (то есть задача заключается в нахождении этой постоянной). Найдем сначала наибольшее значение функции на отрезке 
Для этого найдем нули производной функции на интервале (0;\,3). Поскольку достаточно решить уравнение 
при 
Имеем:
Так как 
только при 
решим уравнение 
при 
При 
при 
при 
При 
то есть мы нашли три корня, а в итоге — четыре критические точки:
Рассмотрим характер изменения знаков функции 
Множитель x и 
не меняют знак на интервале 
множитель 
меняет знак в точке 
и положителен в окрестности нуля. Множитель 
меняет знак в каждой из остальных трех точек и положителен в окрестности нуля. Отсюда получаем расстановку знаков, показанную на рисунке. Таким образом, каждая из четырех точек является точкой экстремума.
Из рисунка видно, что наибольшее значение функции на отрезке 
достигается в одной из трех точек 
и 
Сравним значения функции в этих точках
Докажем, что 
Так как 
то
Отсюда следует, что 
и 
С другой стороны 
откуда 
что и требовалось доказать.
Таким образом, 
при 
Если положить 
то, очевидно, 
при
Ответ: 
Задание парного варианта: 2684