PDF-версии: 
Решите уравнение 
Решение. Используем формулу понижения степени и решим:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
высекающей на осях координат равнобедренный треугольник.
) определена только при положительном основании, то данная функция определена только при 
— абсцисса точки касания. Отсюда 
и уравнение касательной имеет вид 
Тогда 
и 
где 
Теперь преобразуем исходное выражение:
на отрезке 
Выражение для производной можно упростить с помощью формул двойного аргумента и приведения: 
принадлежат только 
Действительно, длина рассматриваемого отрезка меньше 
т. е. меньше разности каждой из двух арифметических прогрессий, являющихся сериями решений уравнения 
Поэтому рассматриваемому отрезку принадлежит не более одного числа каждой серии. Поскольку функция 
монотонно убывает на множестве своего определения 
и 
и 
то
т. е. 
(и 
).
(см. рис.).
и 
меняют свой знак соответственно в точках 
и 
Знаки производной расставляются так, как показано на рисунке, именно по этой причине. По рисунку видно, что в точке 
функция y имеет локальный максимум, а в точке 
— локальный минимум. Отсюда следует, что наименьшее значение на отрезке 
функция y принимает либо в точке 
либо в точке 
а наибольшее значение — в одной из двух точек 
и 
и 
(как сумма трёх положительных чисел);
и 
то 
Таким образом, максимум функции y достигается в точке 
и 
Функцию 
обозначим через 
Тогда 
Число x лежит в рассматриваемом отрезке тогда и только тогда, когда 
Наибольшее и наименьшее значения функции 
на отрезке 
очевидно совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции 
на отрезке 
Найдём их:
Таки как функция 
дифференцируема 
то достаточно решить систему
где 
и 
а 
то
Докажем, что наибольшим числом является 
было больше, чем значение 
— наибольшее значение функции на рассматриваемом отрезке. Однако этого не может быть, поскольку нетрудно показать, что 
является точкой локального минимума функции 
и 
не меньше площади фигуры, ограниченной линиями 
и 
Площади двух указанных фигур ABCD и ABFG заштрихованы (на рисунке для примера взяты значения 
).
то график каждой функции находится в соответствующей (нижней или верхней) полуплоскости, т. е. обе фигуры ABCD и ABFG при любых 
являются криволинейными трапециями. Поэтому их площади соответственно равны
т. е.
для любого 
В этом случае неравенство выполняется для любого действительного a тогда и только тогда, когда дискриминант квадратного трёхчлена неположителен:
В этом случае неравенство принимает вид 
Значит, неравенство выполняется не при всех значениях a, что не удовлетворяет условиям задачи.
(
откуда наибольшее отрицательное значение очевидно.