PDF-версии: 
Изобразите на чертеже множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию 
Среди этих точек найдите такие, для которых выполняется равенство 
и запишите числа, соответствующие этим точкам, в тригонометрической форме.
Решение. Преобразуем уравнение
Это уравнение задает окружность с центром в нуле и радиусом 2. Условие 
означает, что точка z равноудалена от точек 0 и 
поэтому лежит на серединном перпендикуляре к соединяющему их отрезку (то есть на горизонтальной прямой, проходящей через точку i). Значит, она имеет вид 
где x вещественное и 
откуда 
То есть подходящие точки имеют вид
откуда 
или 
Ответ: см. рисунок.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
уравнение 
не имеет решений?
имеем 
и решений нет. При прочих 
уравнение равносильно 
Это уравнение имеет решения в точности когда 
то есть при 
На данном промежутке в 
где 
тогда 
и первое уравнение примет вид
отсюда 
и второе уравнение примет вид 
откуда 
Ясно, что 
поэтому 
и 
Во втором случае 
тогда 
и второе уравнение примет вид 
что невозможно.
и касательной, проведенной к графику этой функции, если известно, что ордината точки касания равна 3.
Вычислим производную:
пересекает ось абсцисс в точке 
Функция 
Нужная область ограничена сверху графиком 
а снизу отрезком оси абсцисс и графиком функции 
равна 
Остается вычесть из нее площадь под графиком функции на отрезке 
Значит, ответ
Это многочлен пятой степени, поэтому функция непрерывна, а график не имеет асимптот. Точки пересечения с осями координат, очевидно, 
и 
то есть график проходит через начало координат и точку 
Возьмем ее производную
при 
и 
при 
возрастает на промежутках 
и 
в точке 
экстремума нет. Значит, 
—
и 