Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Изоб­ра­зи­те на чер­те­же мно­же­ство точек ком­плекс­ной плос­ко­сти, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию z умно­жить на \barz= левая круг­лая скоб­ка 2 плюс i пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 1 плюс 4i конец дроби . Среди этих точек най­ди­те такие, для ко­то­рых вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство |z|=|z минус 2i| и за­пи­ши­те числа, со­от­вет­ству­ю­щие этим точ­кам, в три­го­но­мет­ри­че­ской форме.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

\absz в квад­ра­те =4 плюс 4i плюс i в квад­ра­те плюс дробь: чис­ли­тель: 17 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 4i пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 4i пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус 4i пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби рав­но­силь­но \absz в квад­ра­те =4 плюс 4i минус 1 плюс дробь: чис­ли­тель: 17 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 4i пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 плюс 16 конец дроби рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но \absz в квад­ра­те =4 плюс 4i минус 1 плюс 1 минус 4i рав­но­силь­но \absz в квад­ра­те =4 рав­но­силь­но \absz=2.

Это урав­не­ние за­да­ет окруж­ность с цен­тром в нуле и ра­ди­у­сом 2. Усло­вие \absz=\absz минус 2i озна­ча­ет, что точка z рав­но­уда­ле­на от точек 0 и 2i, по­это­му лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к со­еди­ня­ю­ще­му их от­рез­ку (то есть на го­ри­зон­таль­ной пря­мой, про­хо­дя­щей через точку i). Зна­чит, она имеет вид z=x плюс i, где x ве­ще­ствен­ное и x в квад­ра­те плюс 1=4, от­ку­да x=\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . То есть под­хо­дя­щие точки имеют вид

\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс i=2 левая круг­лая скоб­ка \pm дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ,

от­ку­да z=2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка или z=2 левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс i синус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: см. ри­су­нок.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 2387

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ма­те­ма­ти­че­ские клас­сы, РСФСР, 1989 год, ра­бо­та 3, ва­ри­ант 1
? Классификатор: Изоб­ра­же­ние мно­жеств ком­плекс­ных чисел на плос­ко­сти
?
Сложность: 5 из 10