PDF-версии: 
Даны два комплексных числа:
Найдите все значения 
при которых 
Решение. Выполним преобразования:
Значит, z1 должно иметь модуль 
откуда
Число −1 − i имеет аргумент 
поэтому (−1 − i)3 имеет аргумент 
Итак, у этого числа и модуль и аргумент (с точностью до периода) совпадают с модулем и аргументом 
Это число подходит.
Число 1 − i имеет аргумент 
поэтому (1 − i)3 имеет аргумент 
Этот аргумент не совпадает (даже с точностью до периода) с аргументом Это число не подходит.
Ответ: a = −1.
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
где 
проведена касательная, параллельная прямой y = 4x + 1. Найдите координаты точки касания.
лежит только 
Вычислим теперь значение самой функции в этой точке:
и обозначим 
Сделав замену, выполним преобразования:
Сделав обратную замену, получаем:
Какой должна быть длина стороны основания пирамиды, чтобы её объём был наибольшим?
По теореме Пифагора для треугольникa SDA находим 
тогда и 
а 
Поскольку треугольник SAC равнобедренный, его высота SO является и его медианой, поэтому 
Значит, функция 
а с ней и 
возрастает при 
убывает при x > 2 (там, где определена) и принимает наибольшее значение при x = 2: