PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Из предложенных сюжетов необходимо решить первые два, из оставшихся сюжетов следует выбрать один. Таким образом получится три сюжета: два обязательных и один выбранный. Всего 12 пунктов. Для получения оценки «5» достаточно верно и полностью решить любые 10 пунктов из 12. Продолжительность экзамена 5 астрономических часов.
Даны функции 
и 
а) Решите неравенство f(x) < g(x).
б) Найдите все значения x такие, что f(x) и g(x) одновременно являются целыми числами.
в) Найдите все числа c такие, что уравнение f(x) + g(x) = c имеет решения.
г) Пусть xn — такое число, что f(xn) = −n, где n — натуральное число, n ⩾ 2. Докажите, что 
Дана функция 
а) Найдите все значения a такие, что функция f принимает только положительные значения на интервале 
б) Пусть a = 2. Решите уравнение 
в) Пусть a > 4. Точки пересечения графика функции f с графиком функции 
последовательно соединяются отрезками. Укажите наименьшую и наибольшую из длин полученных отрезков.
г) Пусть a = 2 и x таково, что 
Найдите
Обозначим через Pn множество всех наборов (t1, t2, ..., tn) целых чисел таких, что 0 ⩽ ti ⩽ i. Сопоставим каждому такому набору число 
а) Найдите все возможные наборы (t1, t2, t3, t4), для которых N(t1, t2, t3, t4) = 15.
б) Докажите, что 
в) Докажите, что N определяет взаимно однозначное соответствие между Pn и множеством всех неотрицательных целых чисел, меньших (n + 1)!.
г) Пусть j0, j1, ..., jn — некоторая перестановка чисел 0, 1, ..., n. Обозначим через ti количество чисел, меньших i, но стоящих справа от него в данной перестановке. Найдите все перестановки j0, j1, ..., j6, для которых 
Дан многочлен 
z — комплексное число.
а) Решите уравнение p(z) = 2.
б) Найдите сумму квадратов всех корней уравнения p(z) = 2002.
в) Найдите все действительные значения c, при которых модули всех корней уравнения p(z) = c не превосходят 1.
г) Существуют ли такие комплексные значения c, при которых модули всех корней уравнения p(z) = c равны 1?
Будем говорить, что прямоугольник (трапеция) вписан в подграфик функции f, если одна из его (её) сторон лежит на оси абсцисс, а две вершины — на подграфике этой функции.
а) Найдите наибольшее значение площади прямоугольника, вписанного в подграфик функции 
б) Верно ли, что из всех прямоугольников, вписанных в подграфик функции 
наибольшую площадь имеет тот, высота которого вдвое меньше его ширины?
в) Пусть S — наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции 
Докажите, что площадь вписанной в подграфик этой функции трапеции, основания которой параллельны оси ординат, меньше S.
г) Найдите все значения c, для которых наибольшая площадь прямоугольника, вписанного в подграфик функции 
равна πc.
Решив неравенство 
получаем a < 0; 1 < a < 2. Но 
—
на промежутке a < 1. Область значений функции h на 
—
Заметим, что для всякого k ⩽ 0 уравнение 
имеет решения (достаточно нарисовать графики функций y = x и y = (x + 1)k для положительных x).
Нарисовав графики функций y = x и 
видим, что достаточно доказать, что 
если x < 1 (производная разности данных выражений положительна, а в нуле их значения совпадают). Поэтому 
Заметим также, что, поскольку 
при x ⩾ 2 (производная этого выражения положительна, и при x = 2 выражение также положительно, что проверяется непосредственно), то 
при данных n. Имеем: 
на 
сводится к кубическому уравнению относительно 
один из корней которого t = 0.
и 
Соответственно, надо сравнить числа: π и 
и 
и воспользовавшись равенством 
при каком-то n, то и 
а поскольку это не так, то и ни одно из соответствующих выражений не равно 0.
— наименьшая; 
Ясно, что 
Кроме того, 
откуда 
и 
В то же время 
откуда 
Итак, 
Уравнение сводится к 
Ясно, что 
Докажем, что оно равно 
по индукции. 
— 
тогда 
поскольку выбрать ti можно 
способом независимо от других выборов) соответствует ровно одно целое число, причем оно всегда от 0 до 
целых чисел. Осталось доказать, что никакие два значения N для разных наборов не совпадают. Допустим, они совпали. Выберем максимальный индекс i для которого в первом наборе ti отличается от pi во втором наборе. Пусть в первом оно больше.
вместо 
сумма в первом наборе больше суммы во втором наборе минимум 
такой, что 
в перестановке. Например, 1 должна стоять после 0 (иначе 
Аналогично добавляем остальные числа. Последовательно получим
поэтому можно выделить множитель 
Значит, либо 
По теореме Виета для уравнения 
получаем 
при вещественных z. Ее производная равна 
поэтому производная отрицательна при 
и положительна при 
и при 
Значит, функция возрастает до 
причем 
причем 
и затем возрастает. Ее примерный график показан на рисунке (см. рис.) и из него видно, что при 
уравнение 
имеет три вещественных корня (на концах промежутка — с учетом кратности) и все они лежат на отрезке 
поэтому условие выполняется.
кроме 
в уравнение годится 
При 
уравнение имеет один вещественный корень, причем из того же графика видно, что он меньше −1, поэтому условие не выполняется уже для него. При 
уравнение имеет ровно один вещественный корень. Он становится больше 1 при 
так что осталось разобраться со случаем 
Обозначим вещественный корень за x, то есть 
и запишем уравнение в виде 
Преобразуем его
Оно не имеет вещественных корней (у исходного уравнения был лишь один вещественный корень), а его комплексные корни сопряжены. Значит, они равны по модулю. С другой стороны, модуль их произведения равен 
поэтому модуль каждого из них равен 
Получаем неравенство 
откуда 
и 
(чтобы получался один вещественный корень) получаем 
Поскольку функция 
возрастает при 
осталось только вычислить ее значение при 
Сделаем это, учитывая что 
Поскольку произведение его корней равно c по теореме Виета и модули всех корней должны быть равны 1, то и 
Запишем z и c в тригонометрической форме. Пусть 
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их. Получим:
Но оно имеет лишь два решения на промежутке 
значит, исходное уравнение будет иметь не более двух решений, равных по модулю единице. Ответ нет, это невозможно.
г) нет, не существуют.
и площадь прямоугольника равна 
Если же вершины лежат не на графике, а под ним, то можно немного приподнять их — пока одна из них не окажется на графике. Если при этом вторая не оказалась на графике, а оказалась ниже него — можно удлинить прямоугольник, сдвинув его вершину по горизонтали, пока она не окажется на графике. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только такие прямоугольники, у которых две вершины на графике. Аналогично поступим и с трапециями — их основания можно увеличить, доведя до пересечения с графиком.
— четная функция, определенная при условии 
то есть при 
то 
(при 
мы не получим двух различных точек). Итак, нас будет интересовать максимум функции 
Для этого найдем максимум выражения 
Его производная равна 
и отрицательно при 
Значит, максимальная площадь прямоугольника равна 
возможно только при 
Значит, нас будет интересовать максимум функции 
На концах промежутка значения функции равны нулю. Возьмем ее производную
Это уравнение имеет корни на указанном промежутке, поскольку обе части непрерывны, при 
левая часть больше правой, а при 
правая больше левой, значит, где-то между этими точками есть равенство. Но если бы высота была вдвое меньше ширины, то мы имели бы 
и, следовательно, 
Тогда 
что не соответствует условию 
Ответ — нет, неверно.
причем 
Тогда ее площадь равна 
Обозначая 
получим 
Но максимальная площадь прямоугольника это максимум функции 
а не просто какое-то ее значение, поэтому площадь трапеции не может оказаться больше. 
откуда 
Но тогда точки образуют прямоугольник, а не трапецию.
значит, нам нужно, чтобы в промежуточных точках не было значения больше. Возьмем производную
положительны и возрастают. а 
убывает на указанном промежутке. Значит, она либо на всем промежутке положительна (тогда максимум функции будет при 
).
отсюда 