PDF-версии: 
Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Решите уравнение 
при всех 
г) Числа a, b, c образуют возрастающую арифметическую прогрессию 
Докажите, что
Решение. а) Подставим в это уравнение выражение для 
тогда
Найдем для начала ОДЗ уравнения. Ясно, что
Столь же ясно, что при x = 2 уравнение выполнено (поскольку 
а при x > 2 имеем
и 
поэтому функция определена при 
Более того, обе части уравнения неотрицательны. Возведем его в квадрат
Откуда 
или 
тогда 
или 
Первое невозможно (мы уже доказали, что при 
это выражение не меньше 
Второе дает x > 2, которое мы уже угадали.
б) Заметим, что 
определена при 
Значит, область определения этого неравенства определяется условиями 
и 
Первое неравенство после домножения на 
даст 
т. е. 
или 
При всех таких x второе неравенство выполнено. Также заметим, что на всей области определения монотонно возрастает (как композиция возрастающих функций). Поэтому неравенство из условия равносильно тому, что 
Домножим это неравенство на знаменатели (они положительны) и решим его:
У многочлена в левой части есть корень 
поэтому многочлен в левой части раскладывается на множители, один из которых равен 
Выделим его 
Корнями второго множителя будут 
Используя метод интервалов, получим
Учитывая ОДЗ, окончательно получаем 
в) Из монотонности получим, что 
Для того, чтобы функция была определена, нужно 
Преобразуем уравнение
Заметим, что при 
решений нет. при прочих a это уравнение сводится к 
и нужно еще, 
Решим это неравенство:
получим 
г) Обозначим 
и выразим все через b и d. Решим:
Сделаем во втором интеграле замену 
тогда 
причем отрезок проходится в обратную сторону. Далее, 
и неравенство запишется в виде
Теперь обозначим переменную интегрирования во втором слагаемом снова за x
Слева написан интеграл от функции по отрезку длиной t. Докажем, что все значения этой функции на данном отрезке не больше чем 
Тогда площадь под графиком не больше, чем наибольшее значение функции, умноженное на длину промежутка интегрирования и нужная оценка будет доказана
Возведем в квадрат (обе части неотрицательны):
Как известно, 
при неотрицательных x и y (это сводится к 
), поэтому достаточно будет доказать, что
что верно. Неравенство доказано.
Ответ: 
при остальных a решений нет.
при остальных a решений нет. при остальных a решений нет.
достаточно для выполнения неравенства 
Домножим на знаменатель:
при 
откуда 
либо 
и 
поэтому все они — корни исходного уравнения.
поэтому достаточно решить неравенство при 
и затем повторять ответ с периодом 
и равен нулю в концах этого промежутка. Поэтому ответом на этом промежутке будет 
поэтому ее производная равна
Знаменатель положителен всегда, значит, числитель должен быть отрицателен. Разберем случаи.
то при 
получим 
и 
числитель окажется положительным.
то числитель положителен на всем промежутке.
то функция 
убывает на всем указанном промежутке (потому что на нем убывают и 
и 
), поэтому необходимо и достаточно, чтобы неравенство выполнялось при 
или, что то же самое, чтобы выполнялось нестрогое неравенство при 
Получаем:
Сразу заметим, что если 
или 
то такие x не будут решениями этого уравнения, поэтому от такого домножения число решений не изменится. В частности, 
тоже не является корнем.
тоже касается горизонтальной оси. То есть найдется точка, в которой и сама функция и ее производная обращаются в ноль. Возьмем производную и составим систему
и 
и сложим уравнения. Получим 
сократим на него 
получим 
Аналогично можно получить, что 
Тогда 
выполнено. Выберем тогда такое x, чтобы 
удовлетворяет условиям 
поэтому уравнение имеет корень на отрезке 
причем это другой корень, нежели тот специфический кратный. Дело в том, что если бы график функции для этого корня пересек бы ось, то корень был бы «кратности» не 2, а как минимум 3, то есть вторая производная тоже обнулялась бы. Но 
поэтому 
равнялась бы нулю, что невозможно по самому первому замечанию.
При 
t примет все значения, кроме нуля, ровно по одному разу. Получим уравнение
где 
выполнены неравенства 
убывает, и вычислите предел 
Докажите, что все числа an, 
иррациональные.
Докажите, что 
есть длина хорды единичной окружности, опирающейся на дугу вдвое меньшей длины, чем та, на которую опирается хорда длиной an. Из этого наблюдения сразу виден смысл утверждения пункта г)!
то 
более того, 
то 
но 
то 
нетрудно доказать по индукции, что 
значит, 
— точки плоскости, изображающие комплексные числа u, v, w.
Найдите все такие w, что треугольник ABC равносторонний.
а число w является корнем уравнения 
Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
то треугольник ABC равносторонний.
вокруг начала координат — первой вершины этого треугольника (рис. 188). По геометрическому смыслу умножения комплексных чисел для этого достаточно умножить v на число 
поэтому данное уравнение можно записать в виде 
получим, что 
откуда 
Таким образом, числа a, b и c являются корнями уравнения 
так что 
В силу 
прямая 
заданная уравнением 
и точка 
касается графика функции f.
(при найденных в предыдущем пункте значениях a). Вычислите площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезком PQ и дугами AP, AQ этих графиков.
Найдите точку графика функции f, ближайшую к точке 
имеет одно решение, откуда и следует ответ.
— расстояние от точки графика с абсциссой x до данной точки M. Тогда 
и 
— точка, в которой достигается наименьшее значение этой функции. 
(
) абсциссы точек пересечения графика функции f с осью абсцисс (см. рис.). Площадь S сегмента вычисляется по формуле
(при 
).