4. Пусть 
— точки плоскости, изображающие комплексные числа u, v, w.
а) Пусть 
Найдите все такие w, что треугольник ABC равносторонний.
б) Пусть 
а число w является корнем уравнения 
Докажите, что треугольник ABC равносторонний.
в) Известно, что треугольник ABC равносторонний. Могут ли действительные и мнимые части всех чисел u, v и w быть рациональными одновременно?
г) Докажите, что если 
то треугольник ABC равносторонний.
а) Для того чтобы получить третью вершину равностороннего треугольника ABC, можно повернуть вершину B на угол 
вокруг начала координат — первой вершины этого треугольника (рис. 188). По геометрическому смыслу умножения комплексных чисел для этого достаточно умножить v на число 
б) Имеем: 
поэтому данное уравнение можно записать в виде
В силу пункта а) треугольник ABC равносторонний.
в) Нет, не могут, поскольку 
г) Данное тождество можно записать в виде
обозначив для удобства 
получим, что 
откуда 
Таким образом, числа a, b и c являются корнями уравнения 
так что 
В силу
Ответ: 
----------
Дублирует задание 2034.
-------------
Дублирует задание № 2034.Спрятать критерии