Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние к виду Обо­зна­чим тогда по­лу­ча­ем:

Зна­чит, (вто­рой мно­жи­тель не имеет кор­ней). Тогда

б)  Ана­ло­гич­но, обо­зна­чим и будем ис­кать наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции при Про­из­вод­ная этой функ­ции равна что от­ри­ца­тель­но при и по­ло­жи­тель­но при Зна­чит, функ­ция убы­ва­ет при и воз­рас­та­ет при а ее наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при (то есть при и равно

в)  Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

г)  До­пу­стим точка, сим­мет­рич­ная к (то есть ) тоже лежит на гра­фи­ке. Тогда вы­пол­не­ны од­но­вре­мен­но два ра­вен­ства и Тогда

от­ку­да, умно­жая на по­лу­чим,

Обо­зна­чая по­лу­чим урав­не­ние

Урав­не­ние не имеет кор­ней. Урав­не­ние имеет корни Эти числа об­рат­ны друг другу и по­ло­жи­тель­ны, по­это­му они опре­де­ля­ют два зна­че­ния x, про­ти­во­по­лож­ных друг другу  — Зна­чит, такая пара точек ровно одна.

Ответ: а)  1; б)  16; в)  г)  одна.

Ре­ше­ние. а)  Вы­ра­зим y как функ­цию от

Счи­тая ко­си­нус двой­но­го угла ар­гу­мен­том, по­лу­ча­ем:

б)  Решим урав­не­ние то есть по­лу­чим от­ку­да или Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:

в)  Функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка по­это­му мно­же­ство зна­че­ний на сов­па­да­ет со мно­же­ством зна­че­ний квад­ра­тич­ной функ­ции

на от­рез­ке Функ­ция убы­ва­ет при и воз­рас­та­ет при по­это­му ее наи­мень­шее зна­че­ние до­сти­га­ет­ся при оно равно  Так как а то наи­боль­шее зна­че­ние равно 5. Тем самым,

г)  Ис­поль­зуя по­стро­ен­ный выше гра­фик квад­рат­но­го трех­чле­на, за­клю­ча­ем, что урав­не­ние от­но­си­тель­но t:

—  при или при не имеет ре­ше­ний;

—  при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, ле­жа­щее в про­ме­жут­ке

—  при имеет два ре­ше­ния, ле­жа­щих в про­ме­жут­ке

—  при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

Каж­дое из этих ре­ше­ний при­во­дит к урав­не­нию от­но­си­тель­но х. Функ­ция на от­рез­ке убы­ва­ет (см. рис.), при­ни­мая все зна­че­ния из от­рез­ка по од­но­му разу. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние от­но­си­тель­но х:

—  при или при не имеет ре­ше­ний;

—  при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, ле­жа­щее в про­ме­жут­ке

—  при имеет два ре­ше­ния, ле­жа­щих в про­ме­жут­ке

—  при имеет един­ствен­ное ре­ше­ние

Ответ: а)  б)  в)  г) два корня при один ко­рень при при про­чих a нет кор­ней.

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем дан­ное урав­не­ние:

сле­до­ва­тель­но, мно­же­ство C  — окруж­ность с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом еди­ни­ца (см. рис.).

б)  Пусть   — ис­ко­мая точка. Так как рас­сто­я­ние до мни­мой оси равно а

то решая си­сте­му

и по­лу­чим ответ.

в) 

г)  Ясно, что где (см. рис.). Так как то

Ответ: a)  см. рис.; б)  в)  г) 

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 1979.

Ре­ше­ние. Пусть a, b, c  — длины ребер дан­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Тогда

а)  Пусть Имеем:

б)  Не­ра­вен­ство рав­но­силь­но или

в)  Вве­дем функ­цию Имеем:

зна­чит,   — ис­ко­мое наи­боль­шее зна­че­ние.

г)  Пусть

Вы­чис­лив про­из­вод­ную, по­лу­чим, что ее корни  — это корни урав­не­ния

дис­кри­ми­нант ко­то­ро­го равен Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое зна­че­ние (не­труд­но по­ка­зать, что при най­ден­ном k зна­че­ние функ­ции g наи­боль­шее).

Ответ: а)  в)  1,8; г) 

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 1980.

Ре­ше­ние. а)  Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку дан­ной функ­ции, про­хо­дя­щей через точку гра­фи­ка с абс­цис­сой x₁, будет Эта пря­мая про­хо­дит через точку тогда и толь­ко тогда, когда от­ку­да

б) 

в)  Пло­щадь s кри­во­ли­ней­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (см. рис.) равна

г)  Точка лежит на ка­са­тель­ной к гра­фи­ку, про­ве­ден­ной в точке по­это­му Далее,

Ответ: а)  б)  4.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 1981.