PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
на отрезке 
б) Пусть 
Вычислите 
в) Докажите, что 
г) Решите неравенство 
на отрезке
Решение. а) Преобразуем уравнение
Это однородное уравнение. Разделим его на 
На указанном отрезке длиной π из каждого семейства может лежать только один ответ. Очевидно 
и 
подходят.
б) Упростим выражение для 
Поэтому 
в) Преобразуем исходное выражение
г) Преобразовав неравенство по пункту в) получим 
при условии 
то есть 
и 
Эти условия запрещают точки 
и 
на данном отрезке.
Неравенство же 
выполнено при 
поскольку 
— монотонно 
Окончательно 
Ответ: а) 
б) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) г) б) г) 
откуда 
т. е. 
тогда 
и получаем
тогда 
где 
Вернемся к исходному выражению 
откуда 
Первый множитель положителен, поскольку 
Получаем 
где 
отсюда 
т. е. 
Тогда исходное выражение примет вид:
б) −2; в) 
г) 
с осями координат.
и 
откуда
В самом деле, в левой части уменьшаемое больше, а вычитаемое меньше, чем в правой. Значит, первое число больше.
и преобразуем его
—
Следовательно, корень уравнения один: 
определена при условии 
и 
то есть 
Значит, 
то есть 
или 
В первом случае 
во втором 
Равенство 
невозможно. Следовательно, 
б) 
в) 
г) 
прямой m и осью Oy.
имеет ровно одно решение.
Найдём значение функции и значение производной в точке 
Уравнение искомой прямой m — 
при этом второй корень уравнения равен 3 (этот случай подходит). Вычислим дискриминант: 
Он равен нулю при 
при этом единственный корень уравнения равен 
(этот случай тоже подходит). 
б) см. рис.; в) 
г) 