Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1924

3.А. Дана функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из 8 плюс x минус корень из 2 минус x.

а) Найдите все координаты точек пересечения графика функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка с осями координат.

б) Сравните числа |f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка | и |f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка |.

в) Решите уравнение f левая круглая скобка x правая круглая скобка = корень из минус 3 минус x.

г) Найдите область определения функции g левая круглая скобка x правая круглая скобка =f левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Точка пересечения с вертикальной осью имеет абсциссу 0 и ординату

f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = корень из 8 минус корень из 2=2 корень из 2 минус корень из 2= корень из 2.

Точка пересечения с горизонтальной осью имеет ординату 0 и абсциссу, удовлетворяющую уравнению f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0, откуда

 корень из 8 плюс x= корень из 2 минус x равносильно 8 плюс x=2 минус x равносильно x= минус 3.

Функция действительно определена при таком x. Окончательно имеем:  левая круглая скобка 0; корень из 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка .

б) преобразуем исходные числа:

\absf левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =\abs корень из 7 минус корень из 3= корень из 7 минус корень из 3,

\absf левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка =\abs корень из 4 минус корень из 6= корень из 6 минус 2

Докажем, что  корень из 7 минус корень из 3 больше корень из 6 минус 2. В самом деле, в левой части уменьшаемое больше, а вычитаемое меньше, чем в правой. Значит, первое число больше.

в) Запишем уравнение в виде  корень из 8 плюс x минус корень из 2 минус x= корень из минус 3 минус x и преобразуем его

 корень из 8 плюс x= корень из 2 минус x плюс корень из минус 3 минус x равносильно 8 плюс x=2 минус x минус 3 минус x плюс 2 корень из левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 3 минус x правая круглая скобка равносильно

 равносильно 9 плюс 3x=2 корень из левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 3 минус x правая круглая скобка равносильно 9 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =4 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка минус 3 минус x правая круглая скобка равносильно

 равносильно 9 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате =4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка .

Значит, либо x= минус 3 — подходит, либо

9 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =4 левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка равносильно 9x плюс 27=4x минус 8 равносильно 5x= минус 33 равносильно x= минус 6,6.

Но это посторонний корень, поскольку для него 9 плюс 3x меньше 0. Следовательно, корень уравнения один: x= минус 3.

г) Функция f левая круглая скобка x правая круглая скобка определена при условии 8 плюс x больше или равно 0 и 2 минус x больше или равно 0, то есть x принадлежит левая квадратная скобка минус 8; 2 правая квадратная скобка . Значит, g левая круглая скобка x правая круглая скобка определена при условии  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус 8; 2 правая квадратная скобка , то есть  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби принадлежит левая квадратная скобка минус 8; 0 правая круглая скобка или  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби принадлежит левая круглая скобка 0; 2 правая квадратная скобка . В первом случае x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка , во втором x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка . Равенство  дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби =0 невозможно. Следовательно, x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответы в пунктах б,в,г не сошлись (в пункте б в ответе сравнивают не те числа, что в условии).

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка левая круглая скобка 0; корень из 2 правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус 3; 0 правая круглая скобка правая фигурная скобка ; б) |f левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка | больше |f левая круглая скобка минус 4 правая круглая скобка |; в)  левая фигурная скобка минус 3 правая фигурная скобка ; г)  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий)

выставляется одна из следующих оценок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 баллов)

При этом необходимо руководствоваться следующим.

Критерии оценивания выполнения заданийБаллы
Верное и полное выполнение задания3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка1
Остальные случаи0

К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные.

Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.


Задание парного варианта: 1919

? Источник: Выпускной экзамен по математике. Базовые классы, Санкт-Петербург, 1996 год, вариант 2
? Классификатор: Вычисления и преобразования (кроме тригонометрии), Иррациональные уравнения и их системы, Исследование функций, Сравнение чисел
?
Сложность: 5 из 10