№ 1924 
Санкт-петербургские выпускные экзамены. Базовая программа. 3. Иррациональности
i
3.А. Дана функция 
а) Найдите все координаты точек пересечения графика функции 
с осями координат.
б) Сравните числа 
и 
в) Решите уравнение 
г) Найдите область определения функции 
Решение. а) Точка пересечения с вертикальной осью имеет абсциссу 0 и ординату
Точка пересечения с горизонтальной осью имеет ординату 0 и абсциссу, удовлетворяющую уравнению 
откуда
Функция действительно определена при таком x. Окончательно имеем: 
б) преобразуем исходные числа:
Докажем, что 
В самом деле, в левой части уменьшаемое больше, а вычитаемое меньше, чем в правой. Значит, первое число больше.
в) Запишем уравнение в виде 
и преобразуем его
Значит, либо 
— подходит, либо
Но это посторонний корень, поскольку для него 
Следовательно, корень уравнения один: 
г) Функция 
определена при условии 
и 
то есть 
Значит, 
определена при условии 
то есть 
или 
В первом случае 
во втором 
Равенство 
невозможно. Следовательно, 
Ответы в пунктах б,в,г не сошлись (в пункте б в ответе сравнивают не те числа, что в условии).
Ответ: а) 
б) 
в) 
г) 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Задание парного варианта: 1919
