PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Вычислите 
б) Упростите выражение 
в) Решите уравнение 
г) Решите неравенство 
на отрезке 
Решение. а) Вычислим, подставив 
б) Упростим, применив формулу произведения синусов и косинусов:
в) Запишем уравнение в виде
Значит, либо 
тогда 
то есть 
Либо
г) Заметим, что на отрезке 
есть только одна точка вида 
— это 
Она точно не попадет в ответ (знаменатель равен нулю), а при всех прочих x можно сократить 
Получим неравенство 
При 
получаем 
на всем этом промежутке 
— убывающая функция. При этом 
и 
поэтому нам подходят те x, для которых 
то есть 
кроме самой точки 
Ответ: а) 
б) −1; в) 
г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
б) −1; в) г) б) −1; в) г) 
решая это неравенство получим, что 
поэтому самое большое отрицательное целое число в области определения это −1.
решим его
Второе дает 
откуда 
Совмещая эти условия, получаем ответ 
и 
входят в область определения функции, это действительно корень.
г) 
на отрезке 
и 
Асимптот график не имеет. Возьмем производную
и положительно при 
или 
Значит, функция возрастает на 
убывает на 
и возрастает на 
При 
у функции максимум, а при 
у функции минимум, причём 
Возьмем вторую производную 
что положительно при 
и отрицательно при 
Значит, функция выпукла вниз при 
у функции точка перегиба, 
График изображен на рисунке.
пересекает график функции при 
и 
ее график лежит ниже секущей. Поэтому 
б) см. рис.; в) −16 и 4; г) 4.
и 
имеет ровно один корень.
Возведем в квадрат при условии 
то есть 
получим:
(не удовлетворяет условию 
), либо 
откуда 
корней не имеет. При неотрицательных же можно возвести в квадрат 
Чтобы у него был один корень, нужно чтобы дискриминант был равен нулю. Этот корень будет подходить и в исходное уравнение, поскольку для него 
Дискриминант 
при 
Поскольку отрицательные b не подходят, ответ 
б) 
в) 
г)