Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
 № 1905
i

3.Б. Дана функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 2x минус x конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те .

а)  Най­ди­те об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков функ­ций y=f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка и y=3x минус 1.

в)  Срав­ни­те числа 2f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и 3f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра b, для ко­то­рых урав­не­ние f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =b имеет ровно один ко­рень.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Функ­ция опре­де­ле­на, если под­ко­рен­ное вы­ра­же­ние не­от­ри­ца­тель­но:

3 плюс 2x минус x в квад­ра­те боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x минус 3 мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 3.

б)  Решим урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 2x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =3x минус 1. Воз­ве­дем в квад­рат при усло­вии 3x минус 1 боль­ше или равно 0, то есть x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , по­лу­чим:

3 плюс 2x минус x в квад­ра­те =9x в квад­ра­те минус 6x плюс 1 рав­но­силь­но 10x в квад­ра­те минус 8x минус 2=0 рав­но­силь­но 5x в квад­ра­те минус 4x минус 1=0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 5x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0

Зна­чит, либо 5x плюс 1=0, x= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби (не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию x боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ), либо x минус 1=0, от­ку­да x=1 .

в)  От­дель­но по­счи­та­ем каж­дое вы­ра­же­ние:

2f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та ,

3f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус 1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец ар­гу­мен­та =
= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 63, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: целая часть: 15, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец ар­гу­мен­та боль­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та .

Итак, вто­рое число боль­ше.

г)  Ясно что при от­ри­ца­тель­ных b урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 плюс 2x минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =b кор­ней не имеет. При не­от­ри­ца­тель­ных же можно воз­ве­сти в квад­рат 3 плюс 2x минус x в квад­ра­те =b в квад­ра­те рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 2x плюс левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0. Чтобы у него был один ко­рень, нужно чтобы дис­кри­ми­нант был равен нулю. Этот ко­рень будет под­хо­дить и в ис­ход­ное урав­не­ние, по­сколь­ку для него 3 плюс 2x минус x в квад­ра­те =b в квад­ра­те боль­ше или равно 0. Дис­кри­ми­нант D=4 минус 4 левая круг­лая скоб­ка b в квад­ра­те минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус 4b в квад­ра­те плюс 12=16 минус 4b в квад­ра­те =0 при b=\pm 2. По­сколь­ку от­ри­ца­тель­ные b не под­хо­дят, ответ b=2.

 

Ответ: а)  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 1;3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ; б)  левая круг­лая скоб­ка 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка ; в) 2f левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 3f левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ; г) b=2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За за­да­ние (или за каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та из че­ты­рех за­да­ний)

вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.


Задание парного варианта: 1900

? Источник: Вы­пуск­ной эк­за­мен по ма­те­ма­ти­ке. Ба­зо­вые клас­сы, Санкт-Пе­тер­бург, 1994 год, ва­ри­ант 2
? Классификатор: Вы­чис­ле­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния (кроме три­го­но­мет­рии), Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния и их си­сте­мы, Ис­сле­до­ва­ние функ­ций, Срав­не­ние чисел, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
?
Сложность: 5 из 10