PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Докажите, что 
б) Решите уравнение 
в) Упростите выражение 
и вычислите его значение при 
г) Решите неравенство 
на отрезке 
Решение. а) Преобразуем исходное выражение:
б) Если 
то либо 
либо 
Второй случай дает 
и 
где 
Первый случай дает 
Но все такие ответы уже включены в первый набор, писать их еще раз не нужно.
в) Преобразуем исходное выражение:
При 
получим 
г) Уравнение 
при всех x кроме 
(см. пункт а). Решая неравенство 
получим 
С учетом условия о запрете некоторых значений x окончательный ответ:
Ответ: 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
тогда получаем 
или 
или 
то есть 
Обозначим временно 
или просто 
откуда 
Учитывая ОДЗ неравенства (см пункт в), окончательно 
в) 
г) 
имеет два различных корня.
было неотрицательно, то есть 
отсюда 
и возведем в квадрат
Следовательно, уравнение имеет один 
функция 
возрастает, а с ней и функции 
и 
Значит, наименьшее значение у нее при 
и равно оно 
При неотрицательных b уравнение равносильно 
б) 
поэтому производная положительна (а функция возрастает) при 
и отрицательна (а функция убывает) при 
и при 
поэтому 
Найдем корни функции 
и 
Это позволяет построить график (см. рис.). 
имеет вид 
Учитывая условие про координаты точки, получаем 
то есть 
и окончательно 
и 
уравнение касательной имеет вид 
или 
то есть касательная горизонтальна.
в) 
г) 4.