PDF-версии: 
1. Дана функция 
а) Решите уравнение 
б) Решите неравенство 
в) Исследуйте функцию 
на монотонность.
г) Найдите все такие числа a, что числа 
и 
равноудалены от числа 
Решение. Преобразуем искомую функцию
а) Запишем уравнение в виде 
и обозначим 
Тогда
Вернемся к исходной переменной, получим
б) Запишем неравенство в виде 
и обозначим Тогда
Вернемся к исходной переменной, получим
Ответ: 
в) Возьмем производную от данной функции
то есть при 
и отрицательно, аналогично при 
Значит функция убывает при 
и возрастает при 
г) Запишем условие в виде
Обозначим 
и домножим обе части уравнения на t
Вернемся к исходной переменной, получим 
Ответ: 
Ответ: а) 
б) 
в) на функция 
убывает; на 
— возрастает; г) 
| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. | |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. | |
в) Возьмем производную от данной функции
то есть при и отрицательно, аналогично при Значит функция убывает при и возрастает при
г) Запишем условие в виде
Обозначим и домножим обе части уравнения на t
Вернемся к исходной переменной, получим
Ответ: а) б) в) на функция убывает; на — возрастает; г)
в) Возьмем производную от данной функции
то есть при и отрицательно, аналогично при Значит функция убывает при и возрастает при
г) Запишем условие в виде
Обозначим и домножим обе части уравнения на t
Вернемся к исходной переменной, получим
Ответ: а) б) в) на функция убывает; на — возрастает; г)
является корнем уравнения 
Постройте график функции 
такими, что 
и 
такие, что уравнение 
имеет хотя бы одно решение при всяком b из отрезка 
Получим 
сжать его вдвое по горизонтали, потом вдвое по вертикали, потом отразить относительно горизонтальной оси и, наконец, сдвинуть вниз на 
в которых функция принимает значение 0. Решим уравнение: 
и 
положительна между этими точками и отрицательна при 
имели одинаковый знак. То есть либо были оба отрицательными, либо оба положительными. Разобъем квадрат 
на 9 частей линиями 
и заштрихуем те части, в которых это условие выполнено.
принимает все значения от −1 до 1, то эта функция принимает все значения от 
до 
(отметим, что 
поскольку 
имеет длину 1, а все значения из него должны приниматься. Значит, это один и тот же отрезок, откуда 
значит, 
или 
— других таких точек на 
нет.
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
принадлежащие множеству D.
где 
таких, что 
не больше 1 и задает круг с центром в точке 
радиуса 1.
лежит ниже вещественной оси и в круг не попадает, а точка 
лежит в D, поскольку 
а модуль удваивается. Значит, вся картинка поворачивается на 
а потом еще взять симметричные точки в M — для них дробь 
просто изменит знак и они тоже подойдут в исходное уравнение.
то 
тем самым вопрос свелся к такому — какие прямые, проходящие через начало координат (с уравнением 
) пересекают оба круга и в каких точках?
Поэтому если провести обе касательные из начала координат, угол между ними составит 
При преобразованиях, давших круг M, этот угол не меняется. Поэтому прямая, проходящая под углом 
с вершиной в начале координат, она и будет единственной прямой, пересекающей обе окружности.
поэтому равна 
Точка касания ее с окружностью D очевидно расположена вдвое ближе к началу координат, так что это 
в) см. рис.; г) 
и 
проходящих через точку с координатами 
Определите вероятность того, что уравнение 
имеет корень из отрезка 
Значит, функция возрастает на отрезке 
и убывает на отрезке 
поэтому ее наименьшее значение равно 
имеет вид 
то есть 
откуда 
имеет вид 
(касательная горизонтальна, поскольку 
— точка экстремума).
имеет вид 
пересекаются в точке 
Прямая 
в первой четверти только при 
получаем из пункта а что 
). Наконец, решим уравнение 
(это ведь касательная в точке 
Выделим его
и что функция 
а 
— прямой 
а на отрезке 
— линией 
Проведем вертикальный отрезок от точки 
до точки 
Он отсечет от области прямоугольный треугольник площади 
Значит, вся площадь равна
проходят через точку 
функции 
точка пересечения имеет абсциссу 1 (см. пункт б). Выясним, когда абсцисса попадет в промежуток 
пройдет через точку 
если 
если 
Мы рассматриваем только 
из них подходят 
Итак, из отрезка длиной 5 подходят точки отрезка длиной 3, поэтому искомая вероятность 
в) 
г) 0,4.
необходимо для выполнения неравенства 
поэтому можно выделить в левой части множитель 
Получаем 
откуда 
и 
то есть что 
Сразу ясно, что 
поэтому этот корень посторонний. Остальные два очевидно подходят. Условие 
будет выполнено автоматически, его можно не проверять (поскольку 
).
графиком этой функции является гипербола с горизонтальной асимптотой 
и такая функция принимает все значения, кроме 1. Значит, в выражении 
под корнем может стоять любое неотрицательное число, кроме единицы. Значит, результат тоже может быть любым неотрицательным числом, кроме единицы.
необходимо для выполнения неравенства 
» означает, что для всех точек, где 
То есть a должно быть больше любого значения функции на множестве 
убывает при 
и при 
При этом 
будут меньше 2, при этом для 
можно подобрать значения, сколь угодно близкие к 2. То есть 
подходят, а меньшие — нет.
б) 
в) 
г) 