№ 1848 
Санкт-петербургские выпускные экзамены. Углубленная программа. 2. Тригонометрия
i
Решение. а) Подставим 
Получим
Ответ: 
б) Преобразуем функцию.
Значит можно построить этот график цепочкой преобразований
то есть взять стандартный график
сжать его вдвое по горизонтали, потом вдвое по вертикали, потом отразить относительно горизонтальной оси и, наконец, сдвинуть вниз на
в) Определим сначала точки на отрезке 
в которых функция принимает значение 0. Решим уравнение:
Из этих точек на указанном отрезке лежат
и
Как видно из графика, функция 
положительна между этими точками и отрицательна при 
Теперь перейдем к задаче. Нужно чтобы и 
имели одинаковый знак. То есть либо были оба отрицательными, либо оба положительными. Разобъем квадрат 
на 9 частей линиями 
и заштрихуем те части, в которых это условие выполнено.
г) Преобразуем функцию:
Поскольку 
принимает все значения от −1 до 1, то эта функция принимает все значения от 
до 
(отметим, что 
поскольку 
Итак, функция принимает значения на отрезке длины 1. Но и отрезок 
имеет длину 1, а все значения из него должны приниматься. Значит, это один и тот же отрезок, откуда 
значит, 
или 
— других таких точек на 
нет.
Ответ: или 
Ответ: а) 
б) см. рис.; в) см. рис.; г) 
Спрятать критерииКритерии проверки:| За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим. |
| Критерии оценивания выполнения заданий | Баллы |
|---|
| Верное и полное выполнение задания | 3 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет | 2 |
| Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка | 1 |
| Остальные случаи | 0 |
| К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п. |
Ответ: б) Преобразуем функцию.
Значит можно построить этот график цепочкой преобразований
то есть взять стандартный график
сжать его вдвое по горизонтали, потом вдвое по вертикали, потом отразить относительно горизонтальной оси и, наконец, сдвинуть вниз на
в) Определим сначала точки на отрезке в которых функция принимает значение 0. Решим уравнение:
Из этих точек на указанном отрезке лежат
и
Как видно из графика, функция положительна между этими точками и отрицательна при
Теперь перейдем к задаче. Нужно чтобы и имели одинаковый знак. То есть либо были оба отрицательными, либо оба положительными. Разобъем квадрат на 9 частей линиями и заштрихуем те части, в которых это условие выполнено.
г) Преобразуем функцию:
Поскольку принимает все значения от −1 до 1, то эта функция принимает все значения от до (отметим, что поскольку
Итак, функция принимает значения на отрезке длины 1. Но и отрезок имеет длину 1, а все значения из него должны приниматься. Значит, это один и тот же отрезок, откуда значит, или — других таких точек на нет.
Ответ: или а) б) см. рис.; в) см. рис.; г)
Задание парного варианта: 1853
является корнем уравнения 
Постройте график функции 
на отрезке 
такими, что 
и 
такие, что уравнение 
имеет хотя бы одно решение при всяком b из отрезка 